Metody Numeryczne
Wykład 13
Równania różniczkowe zwyczajne, część 4,
oraz przybliżone obliczanie pochodnych
Iwona Wróbel
[e-mail]
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.1/23
Metody wielokrokowe
Szukamy rozwiązania zagadnienia różniczkowego
y (x) = f(x, y(x)), x " [a, b],
y(a) = y0,
w punktach x1, x2, . . . , xn.
Całkując stronami równanie różniczkowe dostajemy
xi+1
y(xi+1) - y(xi) = f(x, y(x)) dx,
xi
czyli
xi+1
y(xi+1) = y(xi) + f(x, y(x)) dx.
xi
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.2/23
Metody wielokrokowe
xi+1
y(xi+1) = y(xi) + f(x, y(x)) dx
xi
Całkę po prawej stronie można obliczać numerycznie stosując
kwadraturę z węzłami xi.
Stosując różne kwadratury interpolacyjne otrzymujemy różne metody.
Gdy węzłami są punkty xi-q, xi-q+1, . . . , xi, dla pewnego q e" 0,
mamy wzory Adamsa-Bashfortha (metody jawne), a gdy węzłami są
xi-r, xi-r+1, . . . , xi+1, dla pewnego r e" 0, otrzymujemy wzory
Adamsa-Moultona (niejawne).
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.3/23
Przykłady metod wielokrokowych
Wzory Adamsa-Bashfortha:
wzór rzędu drugiego:
1
yi+1 = yi + h(3fi - fi-1),
^ ^
2
wzór rzędu czwartego:
1
yi+1 = yi + h(55fi - 59fi-1 + 37fi-2 - 9fi-3).
^ ^
24
Wzory Adamsa-Moultona:
wzór rzędu drugiego:
1
yi+1 = yi + h(fi+1 + fi)
^ ^
2
(metoda trapezów),
wzór rzędu czwartego:
1
yi+1 = yi + h(9fi+1 + 19fi - 5fi-1 + fi-2).
^ ^
24
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.4/23
Metody niejawne mają często lepsze własności numeryczne niż
metody jawne.
W metodach wielokrokowych początkowe wartości można
obliczyć na przykład za pomocą metod Rungego-Kutty (są one
jednokrokowe).
Ważne jest, aby wartości te były obliczane metodą tego samego
rzędu, co stosowana metoda wielokrokowa.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.5/23
W metodach Adamsa-Moultona (niejawnych) przybliżenie
początkowe y(0) najczęściej oblicza się metodą
i+1
Adamsa-Bashfortha tego samego rzędu.
Algorytm jest następujący (dla wzoru rzędu 4):
y0 = y0,
^
y1, y2, y3  obliczamy metodą Rungego-Kutty rzędu 4
^ ^ ^
dla i = 0, . . . , n - 1
y(0)  obliczamy metodą Adamsa-Bashfortha rzędu 4
^i+1
dla k = 0, 1, 2, . . .
1
y(k+1) = yi + h(9f(xi+1, y(k) + 19fi - 5fi-1 + fi-2),
^i+1 ^ ^i+1)
24
Takie połączenie metod jawnych i niejawnych nazywa się metodą
predyktor-korektor.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.6/23
Przybliżanie pochodnych
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.7/23
Dane:
funkcja y : R R, różniczkowalna.
Problem:
jak numerycznie obliczyć y (x)?
Skonstruujemy ilorazy różnicowe przybliżające pochodne.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.8/23
Rozwińmy funkcję y w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
1 1
y(x + h) = y(x) + hy (x) + h2y (x) + h3y (x) + O(h4),
2 3!
4
y(x + 2h) = y(x) + 2hy (x) + 2h2y (x) + h3y (x) + O(h4).
3
Pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez liczbę A = 0:

1 1
Ay(x + h) = Ay(x) + Ahy (x) + Ah2y (x) + Ah3y (x) + O(h4),
2 3!
i odejmijmy stronami:
1
Ay(x+h)-y(x+2h) = (A-1)y(x)+(A-2)hy (x)+ A-2 h2y (x)+
2
1 4
+ A - h3y (x) + O(h4).
3! 3
1
Chcemy, aby współczynnik przy y (x) był równy zero, czyli: A - 2 = 0.
2
Stąd A = 4.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.9/23
Wstawiamy A = 4 do równania
1
Ay(x+h)-y(x+2h) = (A-1)y(x)+(A-2)hy (x)+ A-2 h2y (x)+
2
1 4
+ A - h3y (x) + O(h4).
3! 3
Mamy:
2
4y(x + h) - y(x + 2h) = 3y(x) + 2hy (x) - h3y (x) + O(h4),
3
skąd wyznaczamy pochodną
-3y(x) + 4y(x + h) - y(x + 2h)
y (x) = + O(h2).
2h
Otrzymaliśmy przybliżenie pochodnej
-3y(x) + 4y(x + h) - y(x + 2h)
y (x) H"
2h
oparte na 3-ech węzłach: x, x + h, x + 2h.
Jest to przybliżenie drugiego rzędu (błąd maleje razem z h2).
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.10/23
Skonstruujemy teraz przybliżenie pochodnej oparte na 4-ech węzłach:
x, x + h, x + 2h, x + 3h.
Rozwińmy funkcję y w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
1 1
y(x + h) = y(x) + hy (x) + h2y (x) + h3y (x) + O(h4),
2 3!
4
y(x + 2h) = y(x) + 2hy (x) + 2h2y (x) + h3y (x) + O(h4),
3
9 9
y(x + 3h) = y(x) + 3hy (x) + h2y (x) + h3y (x) + O(h4).
2 2
Pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez A, a drugie przez B:
1 1
Ay(x + h) = Ay(x) + Ahy (x) + Ah2y (x) + Ah3y (x) + O(h4),
2 3!
4
By(x + 2h) = By(x) + 2Bhy (x) + 2Bh2y (x) + Bh3y (x) + O(h4).
3
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.11/23
Chcemy tak dobrać A i B, aby po dodaniu równań
1 1
Ay(x + h) = Ay(x) + Ahy (x) + Ah2y (x) + Ah3y (x) + O(h4),
2 3!
4
By(x + 2h) = By(x) + 2Bhy (x) + 2Bh2y (x) + Bh3y (x) + O(h4),
3
9 9
y(x + 3h) = y(x) + 3hy (x) + h2y (x) + h3y (x) + O(h4)
2 2
stronami współczynniki przy y (x) i y (x) były równe zero, czyli:
1 9
A + 2B + = 0,
2 2
1 4 9
A + B + = 0.
6 3 2
Rozwiązując układ równań otrzymujemy
9
A = 9, B = - .
2
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.12/23
Wstawiamy wyznaczone wartości A i B do równań
1 1
Ay(x + h) = Ay(x) + Ahy (x) + Ah2y (x) + Ah3y (x) + O(h4),
2 3!
4
By(x + 2h) = By(x) + 2Bhy (x) + 2Bh2y (x) + Bh3y (x) + O(h4),
3
9 9
y(x + 3h) = y(x) + 3hy (x) + h2y (x) + h3y (x) + O(h4),
2 2
dodajemy je stronami
9 11
9y(x + h) - y(x + 2h) + y(x + 3h) = - y(x) + 3hy (x) + O(h4),
2 2
i wyznaczamy
9
-11 y(x) + 9y(x + h) - y(x + 2h) + y(x + 3h)
2 2
y (x) = + O(h3).
3h
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.13/23
Mamy
-11y(x) + 18y(x + h) - 9y(x + 2h) + 2y(x + 3h)
y (x) = + O(h3).
6h
Otrzymaliśmy przybliżenie pochodnej
-11y(x) + 18y(x + h) - 9y(x + 2h) + 2y(x + 3h)
y (x) H"
6h
oparte na 4-ech węzłach: x, x + h, x + 2h, x + 3h.
Jest to przybliżenie trzeciego rzędu (błąd maleje razem z h3).
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.14/23
Zadanie:
Skonstruować przybliżenie pochodnej oparte na węzłach:
x, x - h, x - 2h.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.15/23
Przykład
Pochodną funkcji y(x) = ex przybliżamy ilorazami różnicowymi
różnych rzędów:
1
1. y (x) H" y(x + h) - y(x) ,
h
1
2. y (x) H" y(x + h) - y(x - h) ,
2h
1
3. y (x) H" 4y(x + h) - 3y(x) - y(x + 2h) ,
2h
1
4. y (x) H" y(x - 2h) - 8y(x - h) + 8y(x + h) - y(x + 2h) ,
12h
1
5. y (x) H" 3y(x - 4h) - 32y(x - 3h) + 168y(x - 2h) - 672y(x -
840h
h) + 672y(x + h) - 268y(x + 2h) + 32f(x + 3h) - 3f(x + 4h) ,
6. y (x) H"
1
7y(x-8h)-128y(x-7h)+1120y(x-6h)-6272y(x-5h)+
720720h
25480y(x - 4h) - 81536y(x - 3h) + 224224y(x - 2h) - 640640y(x -
h)+640640y(x+h)-224224y(x+2h)+81536y(x+3h)-25480y(x+
4h) + 6272y(x + 5h) - 1120y(x + 6h) + 128y(x + 7h) - 7y(x + 8h) ,
i (dla x = 1) obliczamy błąd |ł - e|.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.16/23
Oznaczenie: ł H" y .
Jak dobre są te przybliżenia?
Czy zmniejszanie wartości h zawsze prowadzi do zmniejszenia błędu
przybliżenia y ?
Korzystając z podanych ilorazów różnicowych wyznaczymy
przybliżone wartości y (1) i sporządzimy wykres błędu |ł - e|
w funkcji h.
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.17/23
1
Błąd |ł - e| dla y (x) H" y(x + h) - y(x) .
h
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.18/23
1
Błąd |ł - e| dla y (x) H" y(x + h) - y(x - h) .
2h
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.19/23
1
Błąd |ł - e| dla y (x) H" 4y(x + h) - 3y(x) - y(x + 2h) .
2h
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.20/23
Błąd |ł - e| dla
1
y (x) H" y(x - 2h) - 8y(x - h) + 8y(x + h) - y(x + 2h) .
12h
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.21/23
1
Błąd |ł - e| dla y (x) H" 3y(x - 4h) - 32y(x - 3h) + 168y(x - 2h) -
840h
672y(x - h) + 672y(x + h) - 268y(x + 2h) + 32f(x + 3h) - 3f(x + 4h) .
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.22/23
Błąd |ł - e| dla
1
y (x) H" 7y(x - 8h) - 128y(x - 7h) + 1120y(x - 6h) - 6272y(x -
720720h
5h) + 25480y(x - 4h) - 81536y(x - 3h) + 224224y(x - 2h) - 640640y(x -
h) + 640640y(x + h) - 224224y(x + 2h) + 81536y(x + 3h) - 25480y(x +
4h) + 6272y(x + 5h) - 1120y(x + 6h) + 128y(x + 7h) - 7y(x + 8h) .
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 13  p.23/23