Metody Numeryczne
Wykład 10
Równania różniczkowe zwyczajne
Iwona Wróbel
[e-mail]
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.1/16
Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne:
y (x) = f(x, y(x)),
dla x " [a, b], z warunkiem poczÄ…tkowym
y(a) = y0.
Problem (ważny!):
w jaki sposób rozwiązanie zależy od warunków początkowych?
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.2/16
Przykład 1
Rozważmy równanie:
y = 3y.
Rozwiązaniem tego równania jest
y(x) = Ce3x.
Dla warunku poczÄ…tkowego:
y(0) = y0
rozwiązanie jest następujące:
y(x) = y0e3x.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.3/16
Przykład 1
Uwaga. Mała zmiana warunku początkowego może prowadzić do
dużej zmiany rozwiązania (niestabilność równania).
0.25
y0=0.01
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.4/16
Przykład 1
Uwaga. Mała zmiana warunku początkowego może prowadzić do
dużej zmiany rozwiązania (niestabilność równania).
1.4
y0=0.01
y0=0.05
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.5/16
Przykład 1
Uwaga. Mała zmiana warunku początkowego może prowadzić do
dużej zmiany rozwiązania (niestabilność równania).
2.5
y0=0.01
y0=0.05
y0=0.1
2
1.5
1
0.5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.6/16
Przykład 1
Uwaga. Mała zmiana warunku początkowego może prowadzić do
dużej zmiany rozwiązania (niestabilność równania).
12
y0=0.01
y0=0.05
y0=0.1
10
y0=0.5
8
6
4
2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.7/16
Przykład 1
Uwaga. Mała zmiana warunku początkowego może prowadzić do
dużej zmiany rozwiązania (niestabilność równania).
12
y0=0.01
y0=0.05
10
y0=0.1
y0=0.5
y0=-0.1
8
6
4
2
0
-2
-4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.8/16
Przykład 2
Rozważmy równanie:
x2 2x
y = 10 y - +
1 + x2 (1 + x2)2
z warunkiem poczÄ…tkowym
y(0) = y0.
RozwiÄ…zaniem tego zagadnienia jest
x2
y(x) = y0e10x + .
1 + x2
Dla y0 = 0 mamy
x2
y(x) = ,
1 + x2
natomiast dla y0 = -µ:
x2
y(x) = -µe10x + .
1 + x2
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.9/16
Przykład 2
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
µ=0
-2.5 µ=0.000001
-3
0 0.5 1 1.5
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.10/16
W złożonych problemach praktycznych uzyskanie rozwiązania
analitycznego często jest niemożliwe.
Nawet jeśli mamy rozwiązanie analityczne, jego wykorzystanie
często jest drogie (wymaga wielu operacji arytmetycznych) oraz
może być obarczone większymi błędami niż skorzystanie z
rozwiÄ…zania numerycznego.
Z drugiej strony niestabilne równania różniczkowe ciężko jest
rozwiązywać numerycznie.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.11/16
Dyskretyzacja
Rozpatrywać będziemy metody dyskretne, to jest takie, które dają
przybliżone rozwiązanie w postaci dyskretnej (jako wartości dla
skończonej liczby argumentów).
Punkty, w których poszukujemy przybliżonego rozwiązania nazywamy
węzłami. Obiera się je z góry, albo wybiera się kolejno w trakcie
konstruowania rozwiązania przybliżonego.
Oznaczmy węzły przez x0, x1, . . . , xn.
Odległość xi+1 - xi (i = 0, . . . , n - 1) nazywa się krokiem całkowania.
Często przyjmuje się, że węzły są równoodległe, tj. xi = a + hi,
b-a
i = 0, . . . , n, gdzie h = .
n
W niektórych metodach krok całkowania jest zmienny.
Przez yi będziemy oznaczać przybliżone wartości funkcji y w
^
punktach xi.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.12/16
Metoda Eulera (jawna)
Wiele metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
otrzymuje się przez zastąpienie pochodnych w równaniu
różniczkowych wyrażeniami, które przybliżają pochodne.
W równaniu
y (x) = f(x, y(x)),
pochodną y (x) zastąpmy ilorazem różnicowym
y(x + h) - y(x)
.
h
Mamy
y(x + h) H" y(x) + hf(x, y(x)),
co pozwala obliczyć przybliżoną wartość funkcji y(x + h) korzystając z
wartości y(x). Jest to metoda Eulera.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.13/16
Metoda Eulera (jawna)
Metoda Eulera dla zagadnienia:
y (x) = f(x, y(x)), x " [a, b],
y(a) = y0.
b-a
Węzły: xi = a + hi, i = 0, . . . , n, h = .
n
Algorytm:
y0 = y0
^
dla i = 0, . . . , n - 1
yi+1 = yi + hf(xi, yi)
^ ^ ^
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.14/16
Własności metody Eulera:
Jest to metoda jednokrokowa (korzysta tylko z informacji z
poprzedniego kroku, tj. przy obliczaniu yi+1 wykorzystuje siÄ™ tylko
^
yi).
^
Metoda jawna  przybliżenie yi+1 występuje tylko po lewej stronie
wzoru.
BÅ‚Ä…d siÄ™ kumuluje.
Przybliżenie rozwiązania może być bardzo niedokładne (h musi
być małe).
Uwaga. Zmniejszanie wartości h prowadzi do zmniejszenia błędu, ale
tylko do pewnego momentu. Po przekroczeniu pewnej wartości dalsze
zmniejszanie h powoduje wzrost błędu! Ta graniczna wartość h zależy
od arytmetyki komputera; w przypadku podwójnej precyzji jest ona
rzędu 10-8.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.15/16
Przykład
Pochodną funkcji y(x) = ex przybliżamy ilorazem różnicowym:
1
y (x) H" y(x + h) - y(x)
h
i (dla x = 1) obliczamy błąd |ł - e|.
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.16/16
Przykład
Pochodną funkcji y(x) = ex przybliżamy ilorazem różnicowym:
1
y (x) H" y(x + h) - y(x)
h
i (dla x = 1) obliczamy błąd |ł - e|.
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
-10
10
-12
10
-14
10
0 10 20 30 40 50
Metody Numeryczne IL, Wykład 10  p.16/16