Metody Numeryczne
Wykład 12
Równania różniczkowe zwyczajne, część 3
Iwona Wróbel
[e-mail]
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.1/12
Metody Rungego-Kutty
Rozważamy zagadnienie różniczkowe
y (x) = f(x, y(x)), x " [a, b],
y(a) = y0.
Ogólna postać metod Rungego-Kutty:
y0 = y0
^
r
yi+1 = yi + cjKj, i = 0, 1, . . . , n - 1,
^ ^
j=1
gdzie
K1 = hfi,
j-1 j-1
Kj = hf xi + h bjs, yi + bjsKs
^
s=1 s=1
dla j > 1 oraz cj, bjs są pewnymi stałymi.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.2/12
Metody Rungego-Kutty (wzór klasyczny)
Ma on postać:
y0 = y0
^
1
yi+1 = yi + K1 + 2K2 + 2K3 + K4 , i = 0, 1, . . . , n - 1,
^ ^
6
gdzie
K1 = hf(xi, yi),
^
1 1
K2 = hf xi + h, yi + K1 ,
^
2 2
1 1
K3 = hf xi + h, yi + K2 ,
^
2 2
K4 = hf xi + h, yi + K3 .
^
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.3/12
Metoda Eulera (niejawna)
W niejawnej metodzie Eulera w równaniu
y (x) = f(x, y(x)),
pochodną y (x) zastąpimy wstecznym ilorazem różnicowym
y(x) - y(x - h)
.
h
Skorzystaliśmy z rozwinięcia funkcji y w szereg Taylora w otoczeniu
punktu x
1
y(x - h) = y(x) - y (x)h + y (¾)h2, ¾2 " (x - h, x).
2
Mamy
y(x) - y(x - h)
H" f(x, y(x)),
h
skÄ…d
y(x) H" y(x - h) + hf(x, y(x)).
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.4/12
Metoda Eulera (niejawna)
b-a
Węzły: xi = a + hi, i = 0, . . . , n, h = .
n
Algorytm:
y0 = y0
^
dla i = 0, . . . , n - 1
yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1)
^ ^ ^
RzÄ…d tej metody wynosi 1.
Jest to metoda niejawna  przybliżenie yi+1 występuje po obu
^
stronach wzoru.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.5/12
Metoda Eulera (niejawna)
b-a
Węzły: xi = a + hi, i = 0, . . . , n, h = .
n
Algorytm:
y0 = y0
^
dla i = 0, . . . , n - 1
yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1)
^ ^ ^
RzÄ…d tej metody wynosi 1.
Jest to metoda niejawna  przybliżenie yi+1 występuje po obu
^
stronach wzoru.
Jak zatem obliczyć yi+1?
^
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.5/12
Obliczanie yi+1
^
W celu obliczenia yi+1 rozwiązujemy równanie nieliniowe
^
yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1),
^ ^ ^
dla każdego i = 0, . . . , n - 1 (czyli w każdym kroku).
Teoretycznie do rozwiązania tego równania można zastosować
dowolną metodę, ale w praktyce w celu zmniejszenia kosztu obliczeń
często stosuje się metodę iteracji prostej.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.6/12
Metoda iteracji prostej
Równanie
f(x) = 0,
gdzie f : R R można sprowadzić do równania równoważnego
x = g(x),
gdzie g : R R.
Miejsca zerowe funkcji f są punktami stałymi funkcji g.
Metoda iteracji prostej  algorytm
x(0)  dane przybliżenie początkowe,
kolejne przybliżenia wyznaczamy następująco:
x(k+1) = g(x(k)), dla k = 0, 1, . . . ,
STOP, gdy |x(k+1) - x(k)| < µ.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.7/12
Metoda iteracji prostej
Zbieżność metody iteracji prostej.
Definicja. Niech C ‚" R bÄ™dzie domkniÄ™ty oraz niech g : C C.
Odwzorowanie g jest zwężające, jeśli istnieje L " [0, 1) takie, że
|g(x1) - g(x2)| d" L|x1 - x2|
dla dowolnych x1, x2 " C.
Twierdzenie (Banacha o punkcie staÅ‚ym). Niech C ‚" R bÄ™dzie
domknięty. Jeśli g jest odwzorowaniem zwężającym zbioru C w siebie,
to ma ono dokładnie jeden punkt stały. Ponadto, dla każdego x(0) " C
ciąg x(k+1) = g(x(k)), k = 0, 1, . . . , jest zbieżny do tego punktu stałego.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.8/12
Niejawna metoda Eulera
W i-tym kroku rozwiązujemy równanie nieliniowe
yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1).
^ ^ ^
i-ty krok przebiega następująco:
1) Przybliżenie początkowe wyznaczamy jawną metodą Eulera:
y(0) = yi + hf(xi, yi).
^i+1 ^ ^
2) Do wyznaczenia yi+1 stosujemy iteracjÄ™:
^
y(k+1) = yi + hf(xi+1, y(k) dla k = 0, 1, . . . ,
^i+1 ^ ^i+1),
Uwaga. W praktyce często stosuje się tylko kilka kroków iteracji 2).
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.9/12
Przykład
Po co stosować metody niejawne, skoro wymagają więcej obliczeń, a
rzÄ…d jest ten sam?
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.10/12
Przykład
Rozpatrzmy zagadnienie
y = y, y(0) = 1,
którego dokładnym rozwiązaniem jest
y(x) = ex.
Metoda Eulera
yi+1 = yi + hf(xi, yi) = yi + h^i = yi(1 + h),
^ ^ ^ ^ y ^
czyli
yi = (1 + h)iy0 = (1 + h)i.
^
Dla  < 0 i x " rozwiązanie dokładne dąży do zera.
Rozwiązanie numeryczne dąży do zera, gdy |1 + h| < 1. Stąd musimy
2
tak wybrać krok h, aby h < - .

Na przykład, dla  = -20, musimy mieć h < 0.1, choć rozwiązanie jest
bardzo płaskie i wystarczyłby większy krok.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.11/12
Przykład
Zagadnienie:
y = y, y(0) = 1,
rozwiÄ…zanie:
y(x) = ex.
Niejawna metoda Eulera
yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1) = yi + h^i+1,
^ ^ ^ ^ y
skÄ…d
yi+1 = (1 - h)-1yi,
^ ^
czyli
yi = (1 - h)-i.
^
Dla  < 0 rozwiązanie numeryczne dąży do zera, gdy |1 - h|-1 < 1, a
tak jest dla każdego h > 0.
Metody Numeryczne IL, Wykład 12  p.12/12