1
DYNAMIKA  PD1
Ćwiczenie nr 8  Doświadczalne rozwiązanie zagadnienia dynamiki PM
Na montażowej taśmie produkcyjnej spoczywa urządzenie o masie m[kg], które okresowo jest
przesuwane przez serwomechanizm z siłą P[N]  zmienną w czasie cyklu. Należy określić dynamikę tego
procesu oraz nakłady energetyczne potrzebne do wykonania tej operacji produkcyjnej.
Å‚
Å‚
Rys. 7.1 Schemat pracy serwomechanizmu
1. Przygotowanie eksperymentu
Aby rozwiązać to zadanie musimy uciec się do eksperymentu, polegającego na pomiarze przebiegu siły
czynnej P=f(t) za pomocą układu pomiarowego jak na rys. 7.2.
x(t)
v(t)
Analiza
Q[C]=f(t)
P.[N]=f(t)
U[V]
U[V]=f(t)
p(t)
Czujnik siły
Wzmacniacz sygnału
wyników
R(t)
pomiaru
L(t)
N(t)
Rejestrator
S(t)
Rys. 7.2. Schemat układu pomiarowego do wyznaczenia przebiegów czasowych siły czynnej generowanej przez
serwomechanizm wykonawczy
2. Opracowanie wyników pomiarów
Wynikiem pomiaru jest przebieg wartości siły P[N] w funkcji czasu przedstawiony na rys 7.3. Wykres ten
stanowi podstawę do uzyskania szeregu charakterystyk określających dynamikę badanego procesu
technologicznego.
P.(N)
P f(t)
.[N]=
tk
0
t[s]
Rys. 7.3. Pomierzona wartość siły czynnej podczas jednego cyklu pracy serwomechanizmu wykonawczego
Jak wykorzystać rezultat eksperymentu do rozwiązania postawionego na wstępie zadania?
 2
Ponieważ zgodnie z zasadÄ… dynamiki : P[ N ] =ð m[ kg ] ×ð p[ m / s2 ] (ð7.1)ð
to dla wielkości zmiennych w czasie eksperymentu otrzymamy analogicznie;
P( t ) =ð m ×ð p( t ) (ð7.2)ð
gdzie : P( t ) -ð pomierzony przebieg siÅ‚y czynnej
m[ kg ] -ð masa caÅ‚kowita przesuwanego urzÄ…dzenia
p( t ) -ð chwilowa wartość przyspieszenia przemieszczanej masy
Argumentem funkcji (zmiennÄ… niezależnÄ…) -ð jest w tych rozważaniach czas, którego miarÄ… jest;1[s]
2.1. Przebieg przyspieszenia w funkcji czasu
Przyspieszenie wyznaczymy z równania 7.1 uwzględniając zmienność czasową charakterystyk
dynamicznych zapisanÄ… w postaci funkcji 7.2, czyli :
P( t )[ N ]
p( t ) =ð (ð7.2a)ð
m[ kg ]
ZaÅ‚ożymy staÅ‚ość masy urzÄ…dzenia podczas cyklu pracy -ð chociaż prowadzone dalej analizy numeryczne
umożliwiajÄ… rozważanie również przypadku ogólnego,gdy : m =ð varius
Mamy więc do rozwiązania tzw.  g zadanie proste dynamiki: polegające na szukaniu pozostałych równań dynamicznych
na podstawie wyznaczonego eksperymentalnie (pomierzonego) przebiegu siły czynnej.
Wykres p(t) [m/s2] stanowiący drugie z czterech szukanych równań dynamicznych, otrzymamy z zależności 7.2a dokonując
przeskalowania osi odciętych.
2.3. Przebieg prędkości w funkcji czasu
dv
Ponieważ : p( t ) =ð czyli rozdzielajÄ…c zmienne otrzymamy p( t ) ×ð dt =ð dv (ð7.3)ð
dt
tk tk
to caÅ‚kujÄ…c równanie obustronnie otrzymamy : p( t ) ×ð dt =ð dv (ð7.4)ð
òð òð
0 0
gdzie : t =ð 0 -ð poczÄ…tek cyklu
0
tk [ s ] -ð czas koÅ„ca cyklu pomiarowego
Otrzymamy więc poszukiwaną zmianę prędkości przemieszc zającej się masy, sprowadzon ej do punktu
tk
materialnego, w postaci nastÄ™pujacego równania : v(t)=ð p( t )dt (ð7.5)ð
òð
0
n
PrzechodzÄ…c do przyrostów skoÅ„czonych dostaniemy zależność : v(t)=ð pi ( t ) ×ð " t (ð7.6)ð
åð
i=ð1
gdzie : n -ð ilość przedziałów o wielkoÅ›ci "t[s] na jakie podzieliliÅ›my caÅ‚y cykl pracy urzÄ…dzenia
t [ s ]
k
n =ð (ð7.7)ð
"t
SzukanÄ… funkcjÄ™ zmiany prÄ™dkoÅ›ci PM -ð bÄ™dÄ…cÄ… trzecim szukanym równaniem dynamicznym
znajdziemy sumując kolejne przyrosty prędkośc w poszczegól nych przedziałach,wg. wzoru
n
vn =ð " vi
åð
i=ð1
gdzie : vk [ m / s ] -ð bieżąca wartość prÄ™dkoÅ›ci PM po upÅ‚ywie i -ð tego kroku caÅ‚kowania
przy czym; i =ð 1,2,3.....
.n
" vi [ m / s ] -ð przyrost prÄ™dkoÅ›ci na i -ð tym kroku caÅ‚kowania ; 1 <ð i <ð n
 3
2.4. Przebieg drogi w funkcji czasu
Kolejny parametr dynamiczny- czyli przemieszczenie PM (właściwie środka masy urządzenia, gdzie umieszczono
PM)  otrzymamy z następującej zależności:
dx
v( t ) =ð (ð7.8)ð
dt
tk tk
RozdzielajÄ…c zmienne; dx =ð v( t ) ×ð dt oraz caÅ‚kujÄ…c stronami otrzymamy : v( t ) ×ð dt =ð dx (ð7.9)ð
òð òð
0 0
n
xi =ð vi ( t ) ×ð "t (ð7.10)ð
åð
i=ð1
n
przy czym x =ð "xi
åð
n
i=ð1
natomiast "xi -ð jest jednym z " n" przyrostów drogi w poszczegól nych przedziaÅ‚ach
na jakie podzieliliÅ›my tk -ð czyli caÅ‚kowity cykl pracy badanego urzÄ…dzenia
Komentarz
Graficzne szukanie całek sprowadza się do wyznaczenia  pola pod krzywą obliczanego według następującej
zależności:
DðVi =ð Fi [ dz ×ð dzx ] ×ð k ×ð kt (ð7.11)ð
y p
gdzie : DðVi -ð przyrost prÄ™dkoÅ›ci w i -ð tym przedziale czasu
Fi [ dz ×ð dzx ] -ð pole w dziaÅ‚kach kwadratowych (kratkach) , pod krzywÄ… przyspiesz -ð p( t )
enia
y
m / s2
k -ð współczynn osi przyspiesz : [ ] (wartość jednej dziaÅ‚ki na osi odciÄ™tych )
ik enia
p
dz
s
kt -ð współczynn osi czasu : [ ] (wartość jednej dziaÅ‚ki na osi rzÄ™dnych )
ik
dz
BieżącÄ… wartość prÄ™dkoÅ›ci PM można obliczyć korzystajÄ…c z przeksztaÅ‚ nieco zależnoÅ›ci (ð7.6)ð
conej
n
v( t ) =ð
åðDðV -ð czyli sumujÄ…c kolejne przyrosty prÄ™dkoÅ›ci w " n"-ð przedziaÅ‚ach czasowych (ð7.6a)ð
i
1
Podobny sposób wyznaczenia przemieszczenia PM, metodą graficzną przedstawiono poniżej:
DðX =ð Fi [ dz ×ð dz ] ×ð kv ×ð kt (ð7.11)ð
i y x
gdzie : DðX -ð przyrost drogi w i -ð tym przedziale czasu
i
Fi [ dz ×ð dzx ] -ð pole w dziaÅ‚kach kwadratowych (kratkach) , pod narysowanÄ… krzywÄ… prÄ™dkoÅ›ci -ð p( t )
y
m / s
kv -ð współczynn osi prÄ™dkoÅ›ci : [ ] (wartość jednej dziaÅ‚ki na osi odciÄ™tych )
ik
dz
s
kt -ð współczynn osi czasu : [ ] (wartość jednej dziaÅ‚ki na osi rzÄ™dnych )
ik
dz
BieżącÄ… wartość drogi PM można obliczyć korzystajÄ…c z przeksztaÅ‚ nieco zależnoÅ›ci (ð7.10)ð
conej
n
x( t ) =ð
åðDðX -ð czyli sumujÄ…c kolejne przyrostydrogi w " n"-ð przedziaÅ‚ach czasowych (ð7.10a)ð
i
1
 4
2.5. Poszukiwanie pozostałych charakterystyk dynamicznych
Powyżej przedstawiono sposób na wyznaczenie metodą graficzną (przybliżoną) podstawowych
charakterystyk dynamicznych; przyspieszenia, prędkości oraz drogi w zależności od czasu. Przejdziemy teraz do
wyznaczenia innych parametrów dynamiki określających pracę serwomechanizmu wykonawczego.
4. Chwilowa energia PM: T [J],
5. Zmiana pÄ™du PM: DðR [kg·m/s]=f5 (t),
6. Impuls siÅ‚y zewnÄ™trznej (popÄ™d): S [N·s]=f6 (t),
7. Praca siły zewnętrznej L [J]=f7(t),
8. Moc chwilową siły zewnętrznej N [W]=f8 (t).
2.6. Zmiana energii kinetycznej PM
Energia kinetyczna przemieszczanej masy wynosi:
m[ kg ] ×ð ( vi [ m / s ])2
T [ J ] =ð (ð7.11)ð
2
przy czym;m[ kg ] -ð wartość prszesuwanej przez serwomechanizm masy
vi [ m / s ] -ð chwilowa wartość prÄ™dkoÅ›ci masy traktowanej jak PM
WstawijÄ…c do (ð7.11)ðbieżące wartoÅ›ci(na danym kroku czasowym;0 <ð i <ð n ) ) vi otrzymujem wykres
y
zmian energii kinetyczne przesuwanej na taśmie masy.
j
2.7. Zmiana ilości ruchu (pędu) PM
Pęd obliczymy z zależności 7.12
Qi =ð m[ kg ] ×ð vi [ m / s ] (ð7.12)ð
gdzie : Qi [ Ns ] -ð chwilowa wartość pÄ™du PM w chwili ti [ s ]
vi [ m / s ] -ð chwilowa wartość prÄ™dkoÅ›ci PM
2.8. Zmiana impulsu czyli popęd siły czynnej działającej na PM
Przyrost impulsu siły zewnętrznej w skończonym przedziale czasy zgodnie z definicją wynosi:
dS =ð P ×ð dt (ð7.15)ð
tk
tak wiÄ™c jego bieżącÄ… wartość można wyliczyćzewzoru S =ð P( t )dt (ð7.16)ð
òð
0
n
lub dla skoÅ„czonej iloÅ›ci przedziałów czasowych : Si ( t ) =ð Pi [ N ] ×ð Dðt ) (ð7.17)ð
åð(
1
gdzie : Pi [ N ] -ð Å›rednia wartość siÅ‚y czynnej w danym przedziale Dðt
n - liczba przedziałów określona tak samo jak poprzednio
Ad 7. Pracę siły zmiennej w czasie można obliczyć korzystając z twierdzenia o przyroście energii kinetycznej, które mówi:
Def. Przyrost energii kinetycznej PM w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac wykonanych tym czasie przez
wszystkie siły zewnętrzne działające na ten punkt. Ponieważ jedyną siłą zewnętrzną jest pomierzona siła działania
serwomechanizmu to:
 5
m ×ð ( vi+ð1 )2 m ×ð ( vi+ð1 )2
L[ J ] =ð Ti+ð1 -ð Ti lub inaczej L =ð -ð (ð7.18)ð
2 2
gdzie : vi+ð1;vi+ð1 -ð wartoÅ›ci prÄ™dkoÅ›ci PM w kolejnych przedziaÅ‚ach czasowych
Możemy sk
orzystać również z inej zależności określajac ej pracę siły zmiennej zależnej od czasu;
t 2
n
L =ð P( t )×ð vi )dt czyli dla przyrostówskoÅ„czonyc L =ð Pi ×ð vi )×ðDðt (ð7.19)ð
h
åð(
òð(
1
t1
Ad 8. Chwilową wartość mocy serwomechanizmu możemy obliczyć korzystając z jej definicji:
dL dx
N [W ] =ð =ð P( t ) =ð P( t )×ð v (ð7.20)ð
dt dt
przechodzÄ…c do wartoÅ›ci w danych przedziaÅ‚ach czasowych, (ð7.21)ð
otrzymamy: N =ð Pi ×ð vi
i
gdzie : N [W ] -ð Å›rednia wartość mocy w i -ð tym przedziale czasu
i
Pi [ N ] ; vi [ m / s ] -ð Å›rednie wartoÅ›ci siÅ‚y i prÄ™dkosci w tym przedziale
Opracował: Robert Piekarski