3582277850

Zestaw zadań nr 4

W zadanich I-IV przyjmujmy następujące oznaczeniae: Jeżeli A i D są podzbiorami grupy (6\ .ij i jeżeli?. <> ' to kładziemy

AB := {o6 € 6': o € .4.6 € D}. A~^l := {«'* € G : o e A}, aB := {«}D.    Ba:=B{a), E {r}.

Zadanie I. Niech .4. B i C będą podzbiorami grupy (G.-,e). Wykazać, że:

A. EA = AE = .4:	B. A{DC) = (AB)C;
C. A(B\jC) = AB U AC:	D. A{Br\C) C AB H AC:
E. (.4B}'^1 = B~^lA^l: G. .4 < G *=> 1.4,4 = A oraz A ^1 - .4).	F. E C .4 n B =*• A u B C --1B:

Zadanie II. Niech A> B będą podgrupami grupy \G.-.<). Wykazać, że:

A. .4B = E o .4 = B = E:	B. .4# = .4 « 5 C .4:
C. Jeżeli G jest grupą abelową, to AB < G: E. Jeżeli .4 fi B = E. to |.4B| = .4; |Z?|.	D AB < G wtedy i tylko wtedy, gdy AB = BA:

Zadanie III. Niech H. K będą podgrupami grupy (6\ i niech a,b e G. Wykazać, że:

A. aH = H o a € //;	B. «// = /;// b ^lo € //:
C'. ai/ = 6// € H:	D. «// = bH <*aHr> bH ć 0;
E. o// 6/f D abH:	F. aH a~^xH D H:
CI. aH ■ uH o a-H:	H. Ha = H a ę H:
i. Ha = Hf, ter"^1 € //:	J. //« = //&•» afc"^1 £ H:
K. Hu = Hb Ha n Hi, ? 0:	L. Ha Hb D Hub.
M. HaHu~^l D H:	N. Ha ■ Ha D Ha^2:
0. <i( H A') = aH fi u A';	P. a(£T n A') = /f n a A' a € //:
R. aH - {aHa~-)a\	S. aH = Hb <=> aHb~^l = //;
T. {H flAja = HaC\Ka\	U. (// n A )a = f/ n Aa o rt e //;
V. Ha = «<« *//«):	W. aH = Hb*>b~^1a£H;

X. a. € HK Ha O K ^ 0:    Y. <1 e HK o H naK jź 0.

Zadanie IV. Niech H. K będą podgrupami grupy (G. ■. r). Wykazaż. że następujące warunki s* róiioważne

A. HA' = CA	B. //a n A' ?= 0 dla każdego a £ 6’:
CH H 6A' 0) dla każdego € ć>:	D. Ha ■H Kb 0 dla każdych o. b e 6’;

E. aH O bK ź t) dla każdych a. b 0. G.