3582317117

Egzamin poprawkowy z Algebry I

12.02.2009 r.

zestaw A

Proszę wybrać 5 zadań.

Czas rozwiązywania - 90 min.

Oblicz (przedstaw w postaci kanonicznej) w —

)2008

. Podaj interpretację graficzną zbioru

A = {z G Z: \z² — i\ ^ Iz² — w|} .

2. Wyznacz moduły i części rzeczywiste rozwiązań równania

(14- i)z² 4- z 4- 2i = —1.

3. Dane jest przekształcenie F: W2009W    W2009W) (gdzie W2009W to przestrzeń wielomianów w

współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 2009), określone wzorem

F{w)(t)=w(t)-w{2)t²⁰⁰⁸.

Sprawdź, czy jest to przekształcenie liniowe, a jeśli tak, to wyznacz rząd, obraz oraz jądro tego przekształcenia.

4. Dana jest macierz

M —

0    -1    1

-1    -2    0

1    p    2

a)    W zależności od parametru p podaj ilość (różnych) rzeczywistych wartości własnych macierzy M;

b)    Dla p = 0 wyznacz wartości własne i wektory własne macierzy M i M².

5. Dane są trzy wektory

u - [0,1, — 2]^T, v - [1,1,2]^T, w = [-1,0, l]^r oraz jest przekształcenie liniowe /: M³ —> R³ o którym wiemy, że f(u) — v, f(v) — w, f(w) — u.

a)    Czy podana informacja wyznacza jednoznacznie przekształcenie? Jeśli nie, to poniższe punkty wykonaj dla dowolnego przykładu przekształcenia spełniających powyższe warunki.

b)    Wyznacz macierz przekształcenia w bazach standardowych.

c)    Czy przekształcenie jest epimorfizmem?

d)    Czy przekształcenie ma wektor stały, czyli taki v, że f(v) — u?

e)    Czy przekształcenie ma wektor o okresie 2, czyli taki v, że f(f(v)) — v i f(v) / v?

6. W zbiorze macierzy postaci

zdefiniowano działanie <S> wzorem

a b 0 c

a b 0 c

gdzie a^OAc^O

d e

0 /

ad ae + bf 0 cf

Czy to działanie jest ma element neutralny? Jeśli tak, to czy każdy element ma element odwrotny? Czy jest przemienne?

Powodzenia!