114546

Egzamin poprawkowy z Algebry I

12.02.2009 r.

zestaw A

Proszę wybrać 5 zadań.

Czas rozwiązywania - 90 min.

(■ \ •

Podaj interpretację graficzną zbioru

—J

A = {*€Z: \z²-i\ś\z²-w\}.

2. Wyznacz moduły i części rzeczywiste rozwiązań równania

(1 + i)z² + z + 2i = —1.

3. Dane jest przekształcenie F: H’2ooo(R) ^—* Waoo^R)* (gdzie H^r2ooo(R) to przestrzeń wielomianów w wsjjółczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 2009), określone wzorem

F{w)(t) = w{t) - u?(2)f²⁰⁰⁸.

Sprawdź, czy jest to przekształcenie liniowce, a jeśli tak. to wyznacz rząd. obraz oraz jądro tego przekształcenia.

4. Dana jest macierz

M =

0    -1    1

-1    -2    0

1    p    2

a)    W zależności od |>arametru p podaj ilość (różnych) rzeczywistych wartości własnych macierzy M;

b)    Dla p = 0 wyznacz wartości własne i wektory własne macierzy M i M².

5. Dane są trzy wektory

u= [0,1,-2]^r, v = (1, 1,2]^t, w = (—1,0.1]^T oraz jest przekształcenie liniowe /: R³ —* R³ o którym wiemy, że f(u) = v, f(v) = w. f(w) = u.

a)    Czy podana informacja wyznacza jednoznacznie przekształcenie? Jeśli nie, to poniższe punkty wykonaj dla dowolnego przykładu przekształcenia spełniających powyższe warunki.

b)    Wyznacz macierz przekształcenia w' bazach standardowych.

c)    Czy przekształcenie jest epimorfizmem?

d)    Czy przekształcenie ma wektor stały, czyli taki u, że f(v) = u?

e)    Czy przekształcenie ma wektor o okresie 2, czyli taki v, że f(f(v)) = v i f(v) ^ v?

6. W zbiorze macierzy postaci

a b 0 c

, gdzie o^OAc^O

zdefiniowano działanie ® wzorem

a b		‘ d	e		ad ae + bf
0 c		0	/.		0 cf

Czy to działanie jest ma element neutralny? Jeśli tak. to czy każdy element ma element odwrotny? Czy jest przemienne?

Powodzenia!