3582320375

Zestaw 8 Grupy ilorazowe

1.    Wyznaczyć warstwy grupy Z₉ względem podgrupy H — {0,3,6}.

2.    Niech H będzie podgrupą grupy G. Wykaż, że dla każdego a G G zachodzi równość aH = Ha wtedy i tylko wtedy, gdy Va £ G,\fh G H mamy aha*¹ G H. (Uwaga: Podgrupę H grupy G nazywamy wówczas dzielnikiem normalnym grupy G i oznaczamy przez H <G).

3.    Udowodnij, że centrum grupy G, definiowane jako Z(G) — {g G G : Va £ G,ag = ga} jest dzielnikiem normalnym grupy G.

4.    Niech funkcja G —> G' będzie homomorfizmem grup. Udowodnić, że jeśli H' <3 G', to W) <] G.

5.    Niech grupa G działa w zbiorze X. Udowodnij, że zbiór f}_x<=x Stab(a:) jest dzielnikiem normalnym w G.

6.    Wykazać, że jeśli H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to G/H jest grupą.

7.    Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z/6Z oraz utworzyć tabelkę dziar łania w tej grupie.

8.    Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z*_njH oraz utworzyć tabelkę działania w tej grupie, jeśli:

(a)    n = 21, H = {1,8,13,20}

(b)    n = 7, H = {1,2,4}

Czy Zjest cykliczna?

9.    Niech X będzie rodziną wszystkich podgrup grupy G. Każdemu ele

mentowi g G G niech będzie przyporządkowane przekształcenie w ten sposób, że    — gHg^_1 dla każdego H G X. Sprawdzić, że przy

porządkowanie to określa działanie grupy G w zbiorze X. Dowieść, że podgrupa H grupy G jest punktem stałym tego działania wtedy i tylko wtedy, gdy H <\G.

1