22865

Zestaw 8 Grupy ilorazowe

1.    Wyznaczyć warstwy grupy Z«> względom podgrupy // = {0.3. G}.

2.    Niech H będzie podgrupą grupy G. Wykaż, że dla każdego a G G zachodzi równość aH = Ha wtedy i tylko wtedy, gdy Va G G. V/i G H mamy aha~^l € H. (Uwaga: Podgrupę H grupy G nazywamy wów^rczas dzielnikiem normalnym gnipy G i oznaczamy przez H < G).

3.    Udowodnij, że centrum grupy G, definiowane jako Z(G) = {g € G : Vn G G, ag = ga} jest dzielnikiem normalnym grupy G.

4.    Niech funkcja <p: G —► G' będzie homoinorfizmein grup. Udowodnić, że

jeśli H’ <G\ to    <G.

5.    Niech grupa G działa w' zbiorze X. Udowodnij, że zbiór flx€X Stab(x) jest dzielnikiem normalnym w G.

6.    Wykazać, że jeśli H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to G/H jest grupą.

7.    Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z/GZ oraz utworzyć tabelkę działania w tej grupie.

8.    Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z*/// oraz utworzyć tabelkę działania vc tej grupie, jeśli:

(a)    n = 21, H = {1.8,13.20}

(b)    n = 7, H = {1,2,4}

Czy Z*/// jest cykliczna?

9.    Niech X będzie rodziną wszystkich podgrup grupy G. Każdemu elementowi g G G niech będzie przyporządkowane przekształcenie tp_g w ten sposób, że <p_g(H) = gHg~^l dla każdego // G X. Sprawdzić, że przyporządkowanie to określa działanie grupy G w zbiorze A'. Dowieść, że podgrupa H grupy G jest punktem stałym tego działania wtedy i tylko wtedy, gdy H <G.

1