3582320379

Zestaw 11 Ideały

1.    Udowodnić, że pierścienie Z[\/5] i Z [i] nie są izomorficzne.

2.    Udowodnić, że jeśli pierścienie A i B są izomorficzne, to pierścienie A[X] i B[X] też są izomorficzne.

3. Wykaż, że jeśli    A —» B jest homomorfizmem pierścieni, to ker<^ jest ideałem pierścienia A.

4.    Wykaż, że jeśli ip: A —* B jest homomorfizmem pierścieni i J jest

ideałem pierścienia B, to zbiór    jest ideałem pierścienia A.

5.    Czy zbiór I jest ideałem pierścienia A:

a.)/ = {/€ C[a-,b] : /(o) = 0}, A = C[a\b] , b)/ = {/€ C(a;6] : lim_a;__>tt+ f(x) =0}, A = C(a; b}.

6.    Wykaż, że ideał pierścienia I — 5Z[X] 4- XZ[X] nie jest główny.

7.    Wykaż, że jeśli A jest ciałem, to A ma dokładnie dwa ideały.

8. Czy w Z [i] element 1 -f 2i dzieli: 2, 5 i — 30?

9.    Czy w Z[g] — {^, m £ Z, k £ N} element 7 dzieli:    g?

10.    Udowodnij, że jedynym elementem stowarzyszonym z 0 jest 0.

11.    Udowodnić, że a ~ 6 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny element u taki, że 6 — au.

12.    Udowodnij, że jeśli o jest odwracalny i a ~ 6, to 6 odwracalny.

13.    W pierścieniu Z[iy/3] znaleźć wszystkie dzielniki 5 4- iy/3.

14.    Czy a jest elementem pierwszym w A:

a) a = 1 + A — Z[iy/E]; b) a = vn/6, >4 — Z[ń/6]; c) a = ś>/ll, A = Z[iy/lI\l

15.    Sprawdź, czy w pierścieniu Z[iy/3] elementy: a) 4, b) 5 4- i-s/3,

są odwracalne?

16.    Zbadać jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nieroz-kładalnym) jest dany element w Z[^].

a) i, b)g, c)*.

1