22868

Zestaw 11 Ideały

1. Udowodnić, że pierścienie Z[>/5] i Z [i] nie są izomorficzne.

2.    Udowodnić, że jeśli pierścienic A i B są izomorficzne, to pierścienie A[X) i B[X] też są izomorficzne.

3.    Wykaż, że jeśli p: A —► B jest homomorfizmem pierścieni, to ker,? jest ideałem pierścienia A.

4.    Wykaż, że jeśli p: A —* B jest homomorfizmem pierścieni i J jest ideałem pierścienia B. to zbiór ^^_1(./) jest ideałem pierścienia A.

5.    Czy zbiór I jest ideałem pierścienia A:

a) 7 = {/ € C[a;6] : f{a) = 0}, A = C[a;6]    , b)/ = {/€ C(a;6] :

lim_I__Kł+ f(x) = 0}, A = C(a.b}.

6.    Wykaż, że ideał pierścienia I = 5Z[X] + XZ[X] nie jest główny.

7.    Wykaż, że jeśli A jest ciałem, to A ma dokładnie dwa ideały.

8.    Czy w Z [i] element 1 + 2/ dzieli: 2, 5? — 30?

9.    Czy w Zj[—\ = {^,m € Z. k € N} element 7 dzieli:    ||?

10.    Udowodnij, że jedynym elementem stowarzyszonym z 0 jest 0.

11.    Udowodnić, że a ~ b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny element u taki, że 6 = au.

12.    Udowodnij, że jeśli a jest odwracalny i rt ~ 6, to b odwracalny.

13.    W pierścieniu Z[t'v3) znaleźć wszystkie dzielniki 5+ /V3.

14.    Czy a jest elementem pierwszym w A:

a) a = 1 + i\J5. A = Z[/\/5]; b) a = i\/6, A = Z[rv/6]; c) a = *v/TT, A = Z[/vTT]?

15.    Sprawdź, czy w pierścieniu Z[?v/3] elementy:

a) 4,    b)5 + tV3,

są odwracalne?

16.    Zbadać jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nieroz-kładalnym) jest dany element w Z[^].

»)*.

1