3582321007

Materiały pomocnicze do egzaminu z geometrii

I. Zagadnienia do egzaminu

1.    Przestrzeni afiniczna - określenie i przykłady.

2.    Suma punktu i wektora - określenie i własności.

3.    Podprzestrzeń afiniczna.

4.    WKW na to by podzbiór przestrzeni afinicznej był jej podprzestrzenią [Dowód].

5.    Podprzestrzeń styczna, Wymiar podprzestrzeni afinicznej.

6.    Równoległość podprzestrzeni afmicznyćh.

7.    Niepusty przekrój podprzestrzeni afmicznyćh (jest podprzestrzenią afiniczną).

8.    Podprzestrzeń rozpięta na układzie punktów - określenie i podstawowe własności.

9.    Równanie kierunkowe podprzestrzeni af (Pi,... ,P_n) [Dowód].

10.    Układy punktów w położeniu ogólnym i szczególnym.

11.    Baza punktowa.

12.    Punkty współliniowe i współpłaszczyznowe.

13.    Układ bazowy, współrzędne punktu w układzie bazowym.

14.    Podprzestrzenie afinicznej przestrzeni współrzędnych A(Kⁿ) (są zbiorami rozwiązań -układów równań liniowych) [Dowód].

15.    Proste w przestrzeni A(K²).

16.    Proste i płaszczyzny w przestrzeni A(K³).

17.    Określenie przekształcenia afinicznego, przekształcenie styczne.

18.    WKW na to aby odwzorowanie przestrzeni afinicznyćh było przekształceniem afinicznym [Dowód].

19.    Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego z zadanym obrazem punktu i częścią liniową [Dowód].

20.    Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego zadanego na bazie punktowej [Dowód].

21.    Określenie rzutu afinicznego, symetrii afinicznej, translacji, jednokładności.

22.    Postać przekształcenia afinicznego A(Kⁿ) —*■ A(K^m).

23.    Przestrzeń euklidesowa.

24.    Kryterium Sylwestera.

25.    Przestrzeń E(Rⁿ) (n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze zwykłym iloczynem skalarnym).

26.    Macierz Grama układu wektorów.

27.    Macierz Grama układu wektorów stanowiącego bazę przestrzeni (jest równa macierzy funkcjonału w tej bazie.)

28.    Związek pomiędzy macierzami Grama w różnych układach ( G(/?i,... ,/?&) = P^T ■ G(ai,... ,a/b) • P).

29.    Własności wyznacznika Grama (przy zmianie kolejności wektorów, przy zamianie wektorów na przeciwne).

30.    Podstawowe własności wyznacznika Grama układu wektorów ((1) jest meujemny, (2) zeruje się •<=> układ jest Umowo zależny) [Dowód].

31.    Podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej (jest przestrzenią euklidesową).

32.    Prostopadły układ niezerowyćb wektorów w przestrzeni euklidesowej (jest liniowo niezależny)[Dowód].

33.    Ortogonalne uzupełnienie zbioru (wektora).

34.    Hiperpłaszczyzna w przestrzeni E(R”), jako ortogonalne uzupełnienie wektora (Sol (oi-Xi + ... + UnJCn ⁼ 0) = [o,.. . jOn]^).

35.    Twierdzenie o rzucie prostopadłym w przestrzeni euklidesowej [Dowód].

36.    Wymiar ortogonalnego dopełnienia podprzestrzeni (dim W + dim W¹ = dim V).

1