3582326454

str 5

W6/7

Aproksymacja wielomianowa i trygonometryczna

Funkcje ó j określają postać funkcji aproksymującej. Rozpatrzymy wielomiany algebraiczne i funkcje trygonometryczne

Jeżeli funkcje <j>j są wielomianami stopnia j (j - 0, 1.2, ..., m), to F_m jest wielomianem stopnia

co najwyżej m. Wtedy funkcję optymalną F_m nazywamy m-tym wielomianem (algebraicznym) optymalnym.

W przypadku jednomianów <bj(x) = x^J , już dla niedużych m (m>5) układ równań normalnych

jest źle lub bardzo źle uwarunkowany (W13). W przypadku przybliżeń wielomianowych z wyjątkiem , gdy m jest bardzo małe, nie należy stosować takiego wyboru funkcji <|)j. Należy

stosować tzw. wielomiany Grama ; omówienie tych problemów przekracza ramy wykładu.

Uwaga. Przy aproksymacji takimi wielomianami macierz G jest macierzą diagonalna.

W zagadnieniach aproksymacji często spotykamy się z przypadkiem, gdy yj są wartościami pomiarowymi pewnego zjawiska , o którym wiadomo, że ma przebieg okresowy. Wtedy do aproksymacji korzystniej jest stosować wielomiany trygonometryczne, a nic algebraiczne.

Niech <J> = (1 ,sin(x),cos(x),sin(2-x),cos(2 x),.....sin(k x),cos(k x)) ( 2 k<n)-

Rozważamy na odcinku [0,2jt] aproksymację trygonometryczną postaci

k

F2k+i(x) = ^ao + (aj-cos(jx) + bj-sin(jx)) j = i

na zbiorze równoodległych punktów

n + 1

Na tym zbiorze punktów macierz Grama jest macierzą diagonalną. Ponadto

't'2. *

i =0

i = 1,2.....k

ao

1    7    2

=-- V y_; aj=-- y y_rcos(j-Xi) bj =-~ y yi-sin(j-_Xi)

n+lż_w    ^J _n + 1    *    n + 1

i =o

i =o

Powiedzmy, że mamy ustalony układ funkcji <t> = (<J»₀ , d>| , (|), ..... (|)_m,...). Liczbę funkcji przybliżających, czyli wartość (m l 1), ustalamy na podstawie analizy modelu badanego

zjawiska lub wyznaczając kolejne funkcje optymalne F_m (m ^_ 0, 1.2 ,.....) i obliczając

kwadrat średniego błędu

n - m

gdzie II_m jest odchyleniem średniokwadratowym dla m-tej funkcji optymalnej F_m. Obliczenia te prowadzimy tak długo, aż (o_m)² maleje w sposób istotny. Wartość m, po której (o_m)² już niemaleje znacznie, wyznacza układ funkcji przybliżających <|>₀, <(>,, tj)„ ..., <j>_m