1109145096

Rys. 5: Wahadło matematyczne

Jeśli przez 0_O oznaczymy kąt maksymalnego wychylenia wahadła, to zasada zachowania energii przyjmuje postać

lub po uproszczeniu

(28)

gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie. Powyższy związek zawiera słynny rezultat Galileusza, że ruch masy w polu grawitacyjnym ziemi nie zależy od wielkości tej masy. Wniosek ten otrzymał Galileusz przy pomocy eksperymentu myślowego, który po 2000 lat obalił podstawy fizyki Arystotelesa.

Przy całkowaniu związku (28) korzystne jest przedstawienie funkcji trygonometrycznych przy pomocy kątów połówkowych. Dla okresu drgań T, tzn. dla czasu potrzebnego do wykonania jednego pełnego wahnięcia otrzymujemy wtedy

T

(29)

Ta całka definiuje funkcję specjalną, nazywaną całką eliptyczną pierwszego rodzaju, która jest stabelaryzowana. Współczynnik y, określony tą całką, jest przedstawiony na Rys. 5.

10