124 5

Niech a oznacza kat, jaki tworzy wektor |z| z prostą Re, czyli z osią OX. Oznaczmy go

przez arg(ż), mamy wówczas sina = oraz cosa = -p-.

|2| |2|

Każda liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów. Argument spełniający 0 < arg (z) < 271 oznaczamy Arg (z) i nazywamy głównym. Jest on nieokreślony dla z = 0.

V / \	rsY

arsCzj • z₂) = argZj + argz₂ arg (-i) = argz, - argz₂ arj(z") = n • argz

Następujące twierdzenie pokazuje, jakie związki zachodzą miedzy argumentami czynników a argumentem iloczynu oraz argumentami dzielnej i dzielnika a argumentem ilorazu.

Twierdzenie

Niech z.,,z, będą różnymi od 0 liczbami zespolonymi. Jeśli a₁ jest argumentem liczby z_v a, - argumentem liczby z₇, toa, + a, jest argumentem iloczynu z, • z₇, a a, — a₇ -argumentem ilorazu    yj# ‘

Dowód. Z założenia wynika, że z, = |z., Kcosa., 4 i sina.,) ^oraz z₇ = \z₇\(cosa₇ 4 i sina,).

■ U

Mnożąc i stosując znane tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy z₁ • z₇ = \z₁ ||z₂|(cosa₁ 4 i sina₁^(cosa_z-r i sina,) =

= \z-,\\z₇\[cosa₁cc>sa_? 4 cosa^isma₇ 4 isina,cosa_z 4 ^sina^ina^ =

= |z₁||z₂l[(cosa₁co5a:2 - sincZiSinaj) 4 tCcosaiSina, 4 sinajcosa,)] = }cos(a: 4 /?) = cosacos/3 — sinasin/?; sin(a 4 /?) =sinacosfi 4 cosasin/?|

= |z₁||z₇|[coi:(a₁ 4 a,) 4 isin(a₁ 4 a,)]    4^Xa?) 4TSin(avd--&^j) •

To dowodzi twierdzenia dla iloczynu.

Aby dowieść je dla ilorazu, przyjmijmy, że^ = r(cosfi 4 i sin#). Wobec tego ^zi ⁼ w    ..skąd wynika w myśl już udowodnionej części twierdzenia, że liczba

a, 4 P jest jednym z argumentów liczby z_v Liczba jest też jednym z argumentów z_v a więc a_n - (a, 4 /?) = 2n7r, gdzie 71 jest liczbą całkowitą. Wobec tego fi = a, — a₇ — 2rm i liczba a_A — a_z— 2mr jest jednym z argumentów ilorazu, co kończy dowód twierdzenia.

Przez indukcję wyprowadzamy z powyższego twierdzenia następujące ogólniejsze twierdzenie:

Twierdzenie

Jeśli a_1f ...,a_v sq argumentami (różnych od 0) liczb z*. , to 4...4a_t jest argumentem iloczynu z₁ - ... * z_h. Ponadto, jeśli a jest argumentem (różnej od 0) liczby z, to ka, jest argumentem potęgi z^k dla dowolnej liczby całkowitej k.