1109145106

4.3.2    Metoda rozdzielania zmiennych. Funkcje własne........... 61

4.3.3    Drgania wymuszone........................... 65

4.3.4    Podsumowanie ............................. 69

4.3.5    Wzory transformacyjne......................... 70

5    Metoda elementów skończonych    75

5.1    Wprowadzenie.................................. 75

5.2    Równania ruchu elementu prętowego..................... 76

5.3    Globalne równanie ruchu............................ 84

6    Fale w liniowych ośrodkach sprężystych    92

7    Kilka uwag o stateczności układów prętowych    97

8    Literatura    103

1 Wprowadzenie

1.1 Motywacja

Reakcja konstrukcji na obciążenia dynamiczne ma wiele różnorodnych aspektów praktycznych. Wśród nich można wyróżnić następujące:

1.    reakcja na obciążenia udarowe (wybuchy, kolizje z samolotami),

2.    reakcja na obciążenia sejsmiczne,

3.    rezonans i zmęczenie przy obciążeniach cyklicznych (np. fundamenty pod maszyny) i flatter (np. obciążenie wiatrem, Tacoma Narrow Bridge),

4.    osłabienie izolacji akustycznej na skutek rezonansu z falą dźwiękową.

Znaczną część tych zjawisk można opisać analizując częstotliwość drgań własnych i tłumienie konstrukcji przy pomocy modeli liniowych. Niektóre problemy, jak flatter lub sprzężenie modów drgań (np. giętnych i skrętnych) wymagają modeli nieliniowych.

Szczególnie istotna w zagadnieniach liniowych jest analiza drgań własnych. Aby wyjaśnić cel takiej analizy wystarczy rozpatrzyć drgania punktowej masy m zawieszonej na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k. Jeśli początek układu współrzędnych przyjmiemy w punkcie położenia równowagi tej masy, a następnie wychylimy masę z tego położenia, to swobodne drgania masy opisuje równanie Newtona

(i)

(2)

dt²

Poszukujemy rozwiązania tego równania w postaci harmonicznej

x = xq + Asincjt,

gdzie xq jest wychyleniem początkowym, a A - amplitudą drgań. Podstawienie do równania (1) daje warunek istnienia rozwiązań o postaci (2)

u =

ili-

(3)

2