Picture5

Rozdział 5

BADANIU PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

5.1. Monotoniczność, ekstrema lokalne, największa i najmniejsza wartość funkcji

Ih-liuicjn 5.1

I unkcja/jest rosnąca w przedziale (a, b), jeżeli: A x_t <x₂=> f(x_])< f{x₂).

V|, ijt (a,b)

Definicja 5.2

I unkcja/jest malejąca w przedziale (a, b), jeżeli: A -v, <a-₂ =>/(*, )>/(*₂).

<1. >ip(a,A)

Twierdzenie 5.1 (warunek wystarczający monotoniczności funkcji)

I Jeżeli funkcja/jest ciągła w (a, b) i różniczkował na w (a, b) oraz f'(x) > 0 dla xe(a, b), to funkcja/jest rosnąca w (a, b).

2. Jeżeli funkcja/jest ciągła w (a, b) i różniczkował na w (a, b) oraz f'{x) < 0 dla xe(a, h), to funkcja/jest malejąca w (a, b).

Przykład 5.1

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: 2x³

Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = R - {-2}. Obliczamy:

6x²(x + 2)² - 2** • 2(x + 2) _ 2*^ł + 12x² 2x^ł(x + 6)(jt + 2)

f\x)

(* + 2)⁴    (jc + 2)⁴    (* + 2)⁴

Rozwiązujemy nierówność i/'(Jf) > 0 i/'(.v)    0 posługując się wykresem luiiki |i

v’(.v + 6)(.v + 2) (rys. 5.1).

Rys. 5.1. Przybliżony wykres licznika /'< v)

Zatem:

/'(jc) > 0 <=> a: € (-co, - 6) u (-2,0) cz (0, + co), f'(x) <0oxe (-6, - 2).

Oznacza to, że funkcja jest rosnąca w przedziałach ( <», (>) i ( .’.(>) om/ (0, +oo), a malejąca w przedziale (-6, -2).

Niech /: Dfd R, funkcja ciągła oraz Xq jest punktem należącym do wnę trza D.

Definicja 5.3

Funkcja/ma w punkcie x₀ maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy i .t niejc sąsiedztwo S(x₀, r) punktu x₀, takie że dla każdego xeS(x_(ty r) spełniona ji .t nierówność f(x) <f(xo):

V A f(x)<f(x₀).

S(x₀,r) xeS{x_u,r)

Definicja 5.4

Funkcja/ma w punkcie x₀ minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy isl nieje sąsiedztwo S(x₀, r) punktu jc₀, takie że dla każdego .v e S(xo, r) spełniona jest nierównośćf{x) >f{xo):

V A /(*)>/(*o)-

S(x_n,r) xcS(x₀,r)