1109145315

3.1 Rozwinięcie w szereg samych (co-)sinusów

Dana jest funkcja / : (0, Z) —> IR. Przedłużymy ją na odcinek < —Z, +Z > w sposób parzysty a następnie w sposób nieparzysty i do uzyskanych funkcji zastosujemy powyższe wzory.

Przedłużamy /(x) w sposób parzysty. Określamy / :< —Z, +1 >—► M wzorem

rw=m)

(i dodatkowo w punktach 0,±Z wartość funkcji /*(x) jest równa granicy funkcji /).

Wówczas /* jest funkcją parzystą a zatem rozwija się w szereg samych cosinusów, gdzie

a„ = 1/Z • J /*(x) ■ cos(nxn/l)dx = 2/1 ■ j f(x)-cos(nxn/l)dx

Ponieważ /*(x) = f(x) dla 0 < x < l

Twierdzenie 3.4 Funkcja f : (0, Z) —> IR spełniająca warunki Dińchleta rozwija się w szereg samych cosinusów:

f(x) = y + £ ^an ■ cos(nx7r/Z) r+i

a_n = 2/1 ■ / f(x) ■ cos(nx7r/Z)<Zx Jo

gdzie

Przedłużamy f(x) w sposób nieparzysty. Określamy / :< —Z,+Z >—»IR

f(x) gdy 0 < x < l /*(x) = <    gdy - Z < x < 0

lo    gdy x = 0, ±Z

Wówczas /* jest funkcją nieparzystą, a więc rozwija się w szereg samych sinusów, przy czym b_n = 1/Z • J /*(x) • sm(nxir/l)dx = 2/1 ■ j f(x) ■ sin(nxn/l)dx Ponieważ /*(x) = /(x) dla 0 < x < Z

Twierdzenie 3.5 Funkcja f : (0, Z) —* IR spełniająca warunki Dińchleta rozwija się w szereg samych sinusów:

f(x) = '^2 bn • sin(nx7r/Z)

gdzie

b„

^2/1’C‘

f(x) • sin(nx7r/Z)(Zx