1109145320

*^1+(*-(*))>

A stąd równanie Eulera przyjmuje postać

A to oznacza, że wyrażenie

t stałe:    = C. Po przekształceniu x? =    , a więc

rc'(t) jest stałe, a więc x(£) = a£+6. Wstawiając warunki brzegowe x(0) = 0, x(l) = 1 uzyskujemy x(t) = t. A zatem funkcja x(t) = t jest jedyną ekstremalą funkcjonału.

Na razie nie wiemy czy jest tutaj rzeczywiście minimum lokalne. Ale zauważmy że nasz funkcjonał podaje długość wykresu funcji x(t). Teraz jest oczywiste, że długość tę realizuje odcinek, czyli nasza ekstremala.    □

W konkretnych sytuacjach wzór Eulera może przyjąć prostszą postać.

Uwaga 4.8 Gdy funkcja F(t, x, x') nie zależy od t tzn.

. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać

czyli

F — x'F_x> = constans

Uwaga 4.9 Gdy funkcja F(t,x,x') nie zależy od x tzn.

. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać

czyli

F_x> — constans

Uwaga 4.10 Gdy funkcja F(t,x,x') nie zależy od x' tzn.

Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać

czyli

F_x = constans