1109145321

4.4 Rachunek wariacyjny. Zadania

Znaleźć ekstremale podanych funkcjonałów odpowiadające danym warunkom brzegowym

1.    L[x] — J [t²{x')² + x)dt ; x(l) = x(2) = 1.

Odp. x{t) = 1/2 • ln \t\ + (ln2)/t + 1 + ln2

rn/2

2.    L[x] — /    ((a/)² - x²)dt , x(0) = 0 , x(7t/2) — 1.

Jo

Odp. x(t) = sin t

3.    L[x] = J (tx + x² — 2x²x')dt x(0) = 0 , x(l) = a

Odp x(t) = —t/2 dla a = —1/2. Dla a ^ —1/2 brak ekstremali.

4.    L[x\ — j {x' — x)²dt x(0) - 0 , x(l) — 2 Odp. x(t) = 2 •

rn/2

5. L[x] = /    ((^^,)² + 2xt — x²)dt x(0) = 0 , x(n/2) = 1 + tt/2

Jo

Odp. x(t) = sint + t

rn/2

6.    L[x] = /    ((a/)² + 2x • sint — x²)dt x(0) = 0 , x(7r/2) = n/2

Jo

Odp. x(t) = 37t/4 • ttsint — (1/2) • t ■ cos t