1109145318

4 Rachunek wariacyjny

Problem 4.1 Znaleźć funkcję x(t) dla której całka

J F(t,x(t),x'(t))dt

osiąga wartość ekstremalną! (Tutaj a < b są danymi liczbami a F(t, x, x') daną funkcją.)

Przykład 4.2 Dane są liczby a < b oraz A, B. Dla jakiej funkcji x(t) spełniającej x(a) = A , x(b) = B, obrót wykresu wokół osi OT ma minimalną powierzchnię boczną?

Dla jakiej funkcji x(t) wartość

S(x) = 27r J x(t)yf 1 + (x'(t))²dt

jest minimalna?

4.1    Ekstremum funkcji 1 zmiennej

Rozpatrujemy funkcję x(t) klasy C^l. Warunkiem koniecznym aby funkcja x miała ekstremum lokalne w punkcie t₀ jest zerowanie się pochodnej x'(t₀) = 0 (punkt stacjonarny). Warunkiem dostatecznym jest zmiana znaku drugiej pochodnej. Jednakże w zagadnieniach praktycznych , gdy wiadomo, że ekstremum istnieje a jest tylko jeden punkt stacjonarny to, możemy stwierdzić, że funkcja x(t) ma w punkcie to ekstremum. Można wówczas nie liczyć drugiej pochodnej.

4.2    Ekstremum funkcjonału

Koncentrujemy się na przestrzeni funkcji klasy C^l:

C^l{a,b) = (a: : [a, 6] —» R; istnieje ciągła pochodna x'(t)}

i jej podprzestrzeni

C^l{a,b\A,B) = {x€ C^x(a, b;A, B) ; x(a) = A,x(b) = ^B}

W przestrzeni tej określamy odległość między dwoma funkcjami

d(x_ux₂) = max{|xi(t) — X2(f)|, \x[(t) — x'₂(t)\;a < t < 6}

Funkcjonałem nazywamy kązdą funkcję L : C¹ (a, b; A, B) —* R.

Definicja 4.3 Dany jest funkcjonał L : C^l(a,b\A,B) —» R. Mówimy, że L osiąga w punkcie Xo (czyli w funkcji!) maksimum (minimum) lokalne gdy istnieje liczba r > 0 taka, że dla każdego x € C^x(a, b; A, B) różnego od Xq i spełniającego d(x,xo) < r zachodzi L[x] < L[xo] (L[x] > L[xo]/