1300740013

2. Metody odtwarzania prędkości 17

2.2. Filtracja Kalmana

W 1960 roku został opublikowany artykuł [24], w którym Węgier Rudolf E. Kalman opisał rekurencyjne rozwiązanie problemu dyskretnej liniowej filtracji. Problem ten dotyczył oszacowania chwilowego stanu układu dynamicznego, przy założeniu, że zarówno pomiar jak i sam proces przetwarzania wewnątrz układu są obarczone błędem. W rozwiązaniu przyjmuje się, że zakłócenia są białym szumem typu gaussowskiego. Ze względu na szerokie zastosowania, filtr Kalmana stal się przedmiotem intensywnych badań i od czasu pierwszej publikacji wprowadzono wiele modyfikacji i ulepszeń. W 1969 został wykorzystany jako estymator 21 zmiennych stanu w module księżycowym Apolla 11. Obecnie jest szeroko stosowany w układach regulacji automatycznej. Obszarem zastosowań obejmuje również rekonstrukcję obrazów, telekomunikację, modelowanie statystyczne zjawisk demograficznych, uczenie sztucznych sieci neuronowych. Algorytmy filtru Kalmana z powodzeniem wykorzystano do estymacji prędkości mechanicznej silnika indukcyjnego [25].

Problem filtracji Kalmana dotyczy oszacowania stanu x G R" dyskretnego procesu opisanego stochastycznym, liniowym równaniem różnicowym

x_k Ax_k-\ + i + w_k-\,    (2-15)

przy znajomości pomiaru z G IR"¹ danego zależnością

Zk = Hx_t + v_k,    (2.16)

gdzie: A - macierz n X n wiążąca stan układu w chwili poprzedniej ze stanem w chwili następnej, B - macierz n X l wiążąca wymuszenie u G M! ze stanem układu, H - macierz m X n wiążąca stan układu z pomiarem, w i v - zmienne losowe reprezentujące szum procesu oraz szum pomiaru. Zakładamy, że szumy te są od siebie niezależne, białe, o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa. Symbolicznie możemy to zapisać następująco

■p(w) .	- JV(0, Q)	(2.17)
<p(v) -	- N(0,R),	(2.18)

gdzie Q i R są macierzami kowariancji.

Algorytm filtru Kalmana jest optymalny pod względem minimalizacji wariancji błędu estymacji. Zdefiniujmy x_k G IR" jako określenie a prioń stanu w chwili k na podstawie wiedzy o procesie w chwili k — 1 oraz x_k G IR'¹ jako określenie a posteriori stanu w chwili k na podstawie pomiaru z_k. Stąd otrzymujemy błędy estymacji a priori i a posteriori dane odpowiednio zależnościami

e* = x_k -    ,    (2.19)

e_t = x_k- x_k    (2.20)