1437212949

Matematyka, st. I, 2009/2010

Algebra liniowa 1

TYP PRZEDMIOTU: PODSTAWOWY

FORMA ZAJĘĆ	W	C
LICZBA GODZIN	30	30
FORMA ZALICZENIA	E	0
ECTS	7

WYKŁADOWCA

dr hab. Krzysztof Przeslawski, prof. UZ

WYMAGANIA WSTĘPNE

Znajomość algebry w zakresie szkoły średniej.

EFEKTY KSZTAŁCENIA

Swobodne wykonywanie obliczeń w ciałach reszt modulo p oraz ciele liczb zespolonych. Umiejętność rozkładu permutacji na cykle rozłączne i określenia jej znaku. Umiejętność rozstrzygnięcia, czy dany układ wektorów jest liniowo niezależny. Umiejętność określenia jądra i obrazu odwzorowania liniowego, a także jego macierzy' w zadanych bazach. Rozumienie roli wyznaczników i biegle ich obliczanie. Umiejętność obliczania złożonych układów równań liniowych.

PROGRAM NAUCZANIA

1.    Ciała. Ciała liczbowe. Działania. Aksjomatyczna definicja ciała. Ciało funkcji wymiernych. Ciało reszt modulo p - małe twierdzenie Fermata. Izomorfizmy ciał; automorfizmy. Charakterystyka ciała. Liczby zespolone: sprzężenie, moduł, postać trygonometryczna, interpretacja geometryczna działań, wzory dc Moivre’a, pierwiastkowanie liczb zespolonych. Ciała algebraicznie domknięte; zasadnicze twierdzenie algebry. Ciała nieprzemienne: kwatemiony.

2.    Pcrmutacje. Definicja grupy; przykłady. Znak permutacji; podgrupa altemująca. Rozkład permutacji na cykle rozłączne i na transpozycje.

3.    Przestrzenie liniowe. Definicja przestrzeni liniowej; przykłady. Liniowa niezależność; powłoka liniowa; baza; twierdzenie Steinitza o wymianie; wymiar. Odwzorowania liniowe; przestrzeń liniowa homomorfizmów liniowych; izomorfizmy przestrzeni liniowych; macierze odwzorowań liniowych w^: przestrzeniach ciągów; mnożenie macierzy' a składanie odwzorowań liniowych; algebry nad cialetn -algebry endomorfizmów liniowych. Twierdzenie o rzędzie; jądro i obraz odwzorowania liniowego. Macierze odwzorowań liniowych w dowolnych bazach; zamiana układu współrzędnych. Przestrzeń sprzężona; baza dualna; izomorfizm naturalny drogiej przestrzeni sprzężonej z wyjściową; odwzorowanie liniowe sprzężone; macierz transponowana.

4.    Wyznaczniki. Wyznacznik macierzy kwadratowej; liniowość wyznacznika; wzór Cauchy’ego; wyznacznik endomorfizmu liniowego; wzory Laplace'a na rozwinięcie wyznacznika; wzór na odwrotność macierzy. Pełna grupa liniowa; specjalna grupa liniowa; grupa macierzy gómotrójkątnych.

5.    Układy równań liniowych. Istnienie rozwiązań. Fundamentalny układ rozwiązań; wymiar przestrzeni rozwiązań. Postać rozwiązania dla układu Ax=b, gdy A jest macierzą odwracalną. Metoda eliminacji Gaussa. Równanie charakterystyczne; wektor własny; wartość własna.

6.    Rozkład Jordana. Suma algebraiczna podpizestrzeni liniowych; suma prosta. Endomorfizmy liniowe nilpotentne; klatki Jordana. Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu. Rozkład Jordana endomorfizmu; postać Jordana macierzy endomorfizmu.

LITERATURA

•    A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2004.

•    Zbiór zadań z algebry, red. A.I. Kostrikin, PWN, Warszawa 2005.

•    A. Białynicki-Birula. Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

WARUNKI ZALICZENIA

1. Zaliczenie ćwiczeń. 2. Zdanie testu egzaminacyjnego.

3