5027720016

Matematyka, st. 2, 2009/2010

Analiza funkcjonalna

TYP PRZEDMIOTU: PODSTAWOWY

FORMA ZAJĘĆ	W	C
LICZBA GODZIN	30	30
FORMA ZALICZENIA	E	0
ECTS	7

SEMESTRY
1	2	3	4	5	6
	■

WYKŁADOWCA prof. dr hab. Marian Nowak WYMAGANIA WSTĘPNE

Znajomość podstaw teorii mnogości, topologii metrycznej, algebty liniowej i analizy matematycznej. Zaliczone przedmioty-: wstęp do teorii mnogości, topologia, algebra liniowa, analiza matematyczna.

EFEKTY KSZTAŁCENIA

Opanow anie postaw teorii przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta oraz teorii ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeniach Banacha (podstawowe zasady analizy funkcjonalnej).

PROGRAM NAUCZANIA

1.    Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha. Ogólne własności. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Szeregi w przestrzeniach unormowanych..

2.    Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Zwartość w przestrzeniach skończenie wymiarowych.

3.    Operatory liniowe ograniczone na przestrzeniach unormowanych. Przykłady ograniczonych operatorów¹ liniowych. Norma operatora. Przestrzeń operatorów liniowych i ograniczonych. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej. Operatory zwarte na przestrzeniach Banacha. Operatory całkowe.

4.    Podstawowe zasad}' analizy funkcjonalnej: Zasada jednostajnej ograniczoności. Twierdzenie o operatorze odwrotnym. Twierdzenie o domkniętym wykresie. Twierdzenie Hahna-Banacha o rozszerzaniu ciągłych funkcjonałów liniowych. Zastosowania.

5.    Ogólna postać ciągłych funkcjonałów liniowych nad klasycznymi ciągowymi i funkcyjnymi przestrzeniami Banacha.

6.    Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Ogólne własności. Przy kład}' przestrzeni Hilberta. Tw ierdzenie o rzucie ortogonalnym w przestrzeniach Hilberta. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta. Bazy ortonormalne w ośrodkowych przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie Riesza-Fishera. Twierdzenie Riesza-Frecheta o ogólnej postaci ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeniach Hilberta.

LITERATURA

•    A. Alexiewicz, Analiza Funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969.

•    J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1990.

•    J. Chmieliński, Analiza Funkcjonalna -notatki do wykładu, WN AP Kraków, 1999.

•    J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

WARUNKI ZALICZENIA

Zaliczenie ćwiczeń - kolokwium. Wykład - egzamin pisemny.

4