1437212950

Matematyka, st. I, 2009/2010

Algebra liniowa 2

TYP PRZEDMIOTU: PODSTAWOWY

FORMA ZAJĘĆ	W	C
LICZBA GODZIN	30	30
FORMA ZALICZENIA	E	O
ECTS	7

WYKŁADOWCA

dr hab. Krzysztof Przeslawski, prof. UZ WYMAGANIA WSTĘPNE Algebra liniowa 1.

EFEKTY KSZTAŁCENIA

Umiejętność sprowadzenia prostszych macierzy do postaci Jordana. Umiejętność przekształcenia danej bazy przestrzeni euklidesowej w bazę ortonormalną. Umiejętność rozwiązywania zadań na wartości własne; wyznaczania rozkładu ortogonalnego przestrzeni na podprzestrzenie niezmiennicze dla odwzorowań samosprzężonych i ortogonalnych. Umiejętność diagonalizacji zadanej formy kwadratowej.

PROGRAM NAUCZANIA

1.    Przestrzenie euklidesowe

Twierdzenie cosinusów - geometiyczna definicja iloczynu skalarnego; iloczyn skalamy we współrzędnych kartezjańskich i jego własności. Formalna definicja iloczynu skalarnego; nonna; nierówność Schwarza; kąt między wektorami, nierówność trójkąta, tożsamość równoległoboku. Ortogonalność: twierdzenie Pitagorasa, baza ortononnalna, procedura ortogonalizacyjna Grama-Schmidta, rozkład wektora w bazie ortonormalnej, dopełnienie ortogonalne. Izomorfizm przestrzeni euklidesowych; izomorfizm przestrzeni i jej dualnej; odwzorowanie liniowe sprzężone; twierdzenie spektralne dla odwzorowań samosprzężonych. Odwzorowania ortogonalne: rozkład przestrzeni na podprzestrzenie niezmiennicze: obroty, odbicia.

2.    Formy dwuliniowe

Odwzorowania wieloliniowe; formy wieloliniowe: formy skośne, formy symetryczne. Formy dwuliniowe symetiyczne; macierz formy dwuliniowej w zadanym układzie współrzędnych. Diagonalizacja formy dwuliniowej; prawo bezwładności form dwuliniowych. Formy kwadratowe; formuła polaryzacyjna -odpowiedniość między formami dwuliniowymi a kwadratowymi: postać normalna formy kwadratowej.

3.    Przestrzenie afinicznc

Kombinacja afiniczna punktów: afiniczna niezależność; przykłady przestrzeni afinicznych; podprzestrzenie afiniczne; izomorfizm przestrzeni afinicznych. Euklidesowe przestrzenie punktowe; izometrie. Szczególne podzbiory punktowej przestrzeni euklidesowej: hiperpłaszczyzny, półprzestizenie, odcinki, zbiory wypukłe, wielościany; kwadryki. Przestrzenie rzutowe - definicja, podstawowe własności.

LITERATURA

•    A.I. Kostrikin, Wstąp do algebry, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2004.

•    Zbiór zadań z algebry, red. A.I. Kostrikin, PWN, Warszawa 2005.

•    A. Białynicki Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

WARUNKI ZALICZENIA

1. Zaliczenie ćwiczeń. 2. Zdanie testu egzaminacyjnego.

4