1636662229

3. Zadania, I

1. Rozważamy polisę emerytalną dla (x). Polega ona na tym, że przez następne m lat będzie on płacił co rok składkę netto P. Po dożyciu wieku x + m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej w stałej wysokości 1 zł (na początku każdego roku). Gdy umrze przed osiągnięciem wieku x+m nic nie będzie wypłacone. Niech L oznacza stratę ubezpieczyciela netto na moment wystawienia polisy. Wykazać, że zdarzenie {L < 0} opisuje wzór

v^K+1 > 1 -(P+l)(l-0

Rozwiązanie. Strata L wyraża się wzorem

I

—P(1 + v + ... + v^K),

(v^m + ... v^K) - P(1 + V + ... + v^m_1),

dla K <m dla K > m

Jeśli K < m to zawsze L < 0. Jeśli natomiast K > m to L < 0 oznacza, że a to jest równoważne wzorowi z treści zadania.

2. Niech A^lx —1(5) oznacza składkę A_x— | obliczoną z użyciem technicznej intensywności oprocentowania S > 0. Obliczyć A(5 które spełnia równanie

=    —jić + Ai)

t-_J2|

jeżeli dane są wartości:

Al_:m\ = 0,131763, A_x}_m\ = 0,0768021, (IA)^lx._ml = 3,0173,

H_X = 0,002, n_x+m = 0,05, S = ln(l, 05) = 0,04879 (obliczone przy podanej wartości 5).

Rozwiązanie. Zastępując przyrost funkcji różniczką otrzymujemy następujące równanie na

A<5

-'■— --1---— --1---— • AJ = 0.

dx 12 dm 12 d6 Obliczymy najpierw potrzebne pochodne cząstkowe.

Tu proszę poprawie wzór

~ dm ⁼ dm Jo ⁶ tPxl^x+t dt — e mPxPx+m

Matematyka w ubezpieczeniach na życie © Mariusz Skaiba, Uniwersytet Warszawski, 2011.