Rozkł zmiennej losowej Pś nazywamy miary Czy jest poprawnie określony rozkł prawd? Czy f definiuje gęstość rozkł prawdopod?
P%!: B(R) " A P%!(A) = P({w&!: %!(w)A}) = " e" 1: ( = ) e" 0 "" ( = ) = Zauważmy " : ( ) > 0
=1
"
1
P(%!A)[0,1]
( )
Czy +" " = 1? tak
"" -1 = "" -1 = = 1
=1 =1
1-
DystrybuantÄ… zm losowej %! nazywamy
"
""
Aby zsumować szereg : " +" " exp [- ]
F%!: R " x F%!(x) T" P%! (-", x] =


zauważymy, że jeśli
P({%! d" x})[0,1]
niech T" +" exp (- ) =
""
Rozkład Paissona jako rozkład graniczny dla f(x)=: = 1 + + + +

(- )
) (-
+" exp " +" exp =

rozkładu Bernoullego.
ï" = ; |x|<1 "

Mówimy, że Sn ma rozkład Bernoullego,
+" ( ) = +" +" )
""
f (x)= : " = 0 + 1 + 2 +

gdy:P(Sn=k)=(( ) " " ,

Zauważmy, że +" =

{0,1,2, & }, = 1 - , [0,1] 3 + ï" + = stÄ…d |x|<1
=

=
Tw.Poisson Niech będzie ciągiem liczb
2 =
""
mamy " =


( )
e" 0, " ż " "
× 0 , (
+" = (- ) + =
"

= ( ) ( ) = "" ( = ) =
+"

) = ó
- +
""


"

1 1
" (1-pn )n-k= "
StÄ…d T" +" (+" ) =
" ! = = =
(1 - )
Dowód Rozważmy uproszczony przypadek,

+" ( (- )" =


gdy = dla pewnego >0. Wówczas
"

Ò! +" " =
"
( ) = ( ) ( ) =



(1 - ) = ( )( ) (1 - )
"


+" " exp (- ) =


Mamy dla |x|<1 =
""

= ( ) (1 - ) (1 - )
( ) "
"2 +" " exp ( ) = "2


""
różniczkując: =

Czy istnieje granica iloczynu przy n
( ) "
( )
+" " = +" " - =

"
Otrzymamy =
": (1 - ) ?


( ) ( )( ) +" - = 1

( ) = = "
Rozważmy
( )

Dystr: = +" " " - =
( )
!

" = " =
( )
!( )!
+" " -
"
( )( )& ( )( ) StÄ…d dla |x|<1 mamy: =
"

=

WÅ‚. Dystrybuanty: N(0,1)
!

( )

= 1 - 1 - 1 - 1 -
"
( )
Ponieważ = exp [- ] jest
!
1 + 1 +

"


( ) = = =
"
: & 1 - (1 - ) " ! " 1
(1 - ) parzysta oraz +" " ( )
f t = 1 to (0) = .




Wobec tego " (1 - ) " (1 - ż + = 1 Wykres Ś ma śr symetrii w (0,1/2)

"
= ( - ) = ( ) - ( ) Wniosek Åš(x)+Åš(-x)=1

) = " " "
1 + 1 1 -
! ( ) ( ) ( )
= +" = +" " =
= - =
Mówimy, że zm los %! ma rozkł Poissona o

"
parametrze intensywności , jeśli
+" " - = 0
Rozkł jednostronny wykładniczy o gęstości

"

( )
f(t)=const exp(-at) *Ç[ ,"] = ( ) = [ ( )] ( ) = ( ) =
+" +"
P(%!=k)= , {0,1,2 & }
!



, e" 0 "
Czy P(%! = ) = definiuje
! 0 , < 0 " "
+" " - = +" -
poprawnie rozkład prawdopod? Tak: ile wynosi const?

"
" "
1." {0,1,2 & } P(%!=k)e" 0
+" = - | = skÄ…d aby +" - =

0

gęstość ( ) = 1 musimy przyjąć const=a
+"
"" ( ) ""
2. %! = = " = +"(- ) (- ) exp - =


!

( )
GÄ™stość: f(t)= Ç[ ,"]
exp -
+"(- ) =
""
= = " = 1

! Dystrybuanta:

(- ) exp -  1 exp - =
Wniosek z tw. Poissona

F(x)=




- exp - + exp -
" ( ) (1 - ) = +"
( ) ( )
+" " = +" " Ç[ ,"] =
"
wobec tego = 1


, > 0 | , > 0 =
, ( ) " (1 - ) H"
! +" = -
( ) = (- - )" +
"
0 , d" 0
0 , d" 0 "
"
ż ! = "
!
+" " - = 1
1 - , > 0

Momenty I rzędu
0 , d" 0
Tw. De Moivre a-Laplace a (centralne tw
( ) ( ) ""
%! = +" %! = "

graniczne) Jeśli Sn jest zmienną losową o rozkł
= ( ) ( ) = ( ) =
( )
%! = =
( )
Bernoullego = = to

"
"" ""
" =

! ( )! " , , < : d" d"
( )
Ç[ ,") = =
"
l:=k-1, gdy k=l+1

( ) ( )
Å»# - = +" "
"
"" "
Mamy wtedy: E%! = "

!
Nierówności probabilistyczne

(©,M,P)-przestrzeÅ„ probabilistyczna
""
= =



Tw.(nierówności Czebyszewa)
moment rzędu II
1
Niech ¾:©[0, "] zm los E¾<" Wówczas
= - = -


( )
E(%! ) = +" %! = ( )
" > 0: e" d" tzn:

1

"" ( ) "" - - = - " ©: e" }) d"
" %! = = " " ({ ( )

!

Dowód:
1
""
= " =

( ) -
( ) ( )
" : e" { : ( ) } e"


"
"" ( ) "" { : ( ) } tzn e" { } e" { }
1 + = "

! StÄ…d +" = -[ +

stÄ…d +"© e" +"© { } e"
""
+ ! = " + " 1 -

!
]" = 0 + + =

+"© { }
+
"

= +" =
e" ( e" ) stÄ…d e" ( e" )
%! = (%! - %!) = + - =

Dla jednej wartości k ciąg Liczymy przez czesc +" =
Wniosek (Nierówność Markowa)

K (%! = ) osiaga wartość najmniejszą? W
Niech p>0 .JeÅ›li : © ! zm los; | | < ",
+" - = - -
celu wyznaczenia takiej wartości , | |
(| | )
to " > 0: e" d"

P(%! = - 1) d" (%! = , ) e" (%! =
+" 2 - = - +
Dowód:

+ 1)
Zmienna losowa | ( )| " [0, "] Jeśli
Rozwiążemy układ dwóch nierówności - -
| | < " to na mocy nierów Czybyszewa


d" " e" " (| | ) ({ : | ( )|
e" = e"
( ) = [ - - - ]" =
( )! ! ( )!

| |

}) d"
d" e" = - ( ) =

( )! ! ( )!
BiorÄ…c p=2 oraz przyjmujÄ…c za zm los -

Def. Mówimy, że zm los ¾ ma standardowy
d" 1 e" d" d" +
otrzymujemy

rozkł normalny N(0,1) jeśli ma gęstość :
Tw(nierówność Czybyszewa-Bienayme)
Mówimy, że zm los ma rozkł geom, jeśli:

P(%!=n)= p, gdzie p i q e" 0: + = 1 ( ) JeÅ›li : © ! t.że | - | < ", to
= exp [- ]

"

{1,2 & } Stwierdziliśmy, że: "" (%! =

(| | )
- e" d"
) = 1, 0< < 1
Czy jest to poprawnie
określony rozkł prawd?
" e" 1: ( = ) e" 0

1
( = ) = = = = 1
1 -

Wart oczekiwana rozkł geom

= ( ) ( ) = ( = )



=

( ) = ( ) ( )


=

"
Otrzymamy =


( ) =

( ) ( )( )
=
( ) ( )
( ) = ( ) ( )

= ( )

= Ç[ ,"]( )


=

Liczymy przez czesc

=
+" +" - =


- - +" - =
2


- + - -

 Tw. (Lindeberg, Levy) Niech , , & , Tw. Jeśli Dowód: Z nierówn Markowa dla p=2 mamy:
| |
będzie ciągiem niezależnych zm los o takim ( )
¾ , ¾ sÄ… niezależne to Ć x =
({ : | ( ) |
- e" }) d" =

samym rozkładzie. = < ", = ( ) ( )
Ć x Ć x , "x " !

> 0 Niech = + + ï" + i
Dowód:

Wn z Tw nierów Czybyszewa-Bienayme:
niech = = =
( )
" Ć x = +"© e ( ) ( ) dP(É)
"
Niech Sn będzie zm los o rozkł Bernoullego,
Wówczas Zn zmierza w sensie zbieżności
( )
+" e ( ) dP( , )(s, t) tzn = = ( ) Wówczas
dystrybuant do rozkł normalnego N(0,1), tzn.
Ponieważ ¾ , ¾ sÄ… niezależne to
( )
({ :
" , " < lim " d" ( )

( ) ( ) ( ) : - e" d" =
P( , ) AxB = P A " P B
( ) ( ) ( )
d" }) = Åš - Åš =

( )
(P( , ) P " P stąd Ć x =
= = Zauważmy że
+" exp - .

Ä„
"
( ) ( )
+"! e dP s +"! e dP t = ( )
Dowód: Na mocy tw Levy ego wystarczy
( )
= +"© =

pokazać że zmierza punktowo do funkcji
+"© e ( ) dP(É) "

+"© = =

charakterystycznej ( ) = rozkładu
( ) ( )
+"© e ¾ (É) dP É = Ć¾ x " Ć¾ (x)
( )
Uwaga: " " !: " = "
normalnego N(0,1). Zauważmy że
Wn: Jeśli , , & , są niezależne to
ï" Dowód
= =
( ) ( ) ( )
, ï" = " "
"
( ) = (© - ( )) =
+"©
( ) ( ) ï" ( )
( ) & " ( )
=
( +"©
+"© - ) = ( -

"
( )
Niech , " ! Rozważmy =
( ) ( ) ( )
" " & " = ) = Jeśli ( = ) =

" " " ( )
( )
+"© ( ( ) ) = +"© ( ) "
( ) , to : - e"
( )

[ ]
( )
= ( )
"
d"
Rozważmy = ( )

( )
Wn: " , " ! = "
Wn: Gdy rośnie liczba powtórzeń
( )
PamiÄ™tamy że, ="
( )
pojedynczych prób w schemacie Bern. to
( )
( ) stÄ…d =

Funkcje charakterystyczne rozkł Bernou: częstość sukcesów mierzona liczbą ( )
( )
( ) Ze taylora =
"
( ) = + + ï" + ( )-sÄ… zmierza do prawdopodobieÅ„stwa sukcesów w
( )
0 + + + ( )
pojedynczej próbie.
! ! ( ) (
niezależne, = 1 = =
( )
Niech =: wtedy = 1 +
Tw (de Moivre a-Laplace a)
0) = = 1 -
( ) ( ) ( )
( )
- + ( ) stąd Pamiętamy, że = = ( : d"
! ! "


( )
= 1 + 0 - ( ) + ) Å»# Åš = +"© exp
( )
" ! " " "

( ) ( ) ( )
= ï" = "

Wn: " , <
( ) = 1 - + (( ) )
( )
( )
" " " & " = + "
( )
( d" d" ) Å»# Åš -
( )
[ = = ]
" "
+ " ï" " + == ( +


( )
Åš = +" exp
( )
StÄ…d = [1 - +
)

"


Przyjmuje się dla e" 30 że:
( ) ] Pamiętajmy że
" Rozkład Poissona


( )
d" d" H" Åš - Åš( )
= 1 + + + + ï" , | | < 1
"
( )
= = , = 0,1,2, &
1 Zbieżność rozkł prawdop
!
= 1 - + - + ï" , | | < 1
Def: Mówimy że ciąg zmierza do w sensie
1 -
( ) ( )
= +"© ( ) =

zbieżności dystrybuant (co oznacza się
( ) ( )
ln 1 + = stÄ…d ln 1 + =
"" ( )
" = =


), jeśli " takiego że jest
| |
- + - + ï" , < 1
"" "" ( ) =
=

! ! ciągła w : ( ) ( )
+const??
Def: Funkcją charakterystyczną rozkładu
"
= =
( )
= 0, ln 1 + 0 = 1 = 0 stÄ…d !
zmiennej losowej nazywamy ( ) T"
Wn: Jeśli ma rozkł Poissona o parametrze
( ) ( )
ln 1 + = + ( ) =
=
( )
intensywn to = exp [ -

1 - + = +"© ( ) ( ) = cos( ( ) ) ( ) +
+"©
1)] Rozważmy ciąg zm los o rozkuł

sin( ( ) ) ( ) (ze wzoru Eulera
+"©
- + = - + " Bernoullego, czyli = ( + )

= + =
Do niego zmierza , przy założeniu że

( )
" lim "( ) =
" + = 1

( )
Stąd " " " lim " = Własności funkcji charakterystycznych rozkł
Z analizy " " ! " lim "(1 + ) =

1.Ć : ! !

( ) ( )
- , czyli =
Zauważmy że : dla =


. Ć (0) = E e = E1 = 1dP(É) = 1


exp (- )
( + ) = (1 - + ) =


3. Ć (x) d" e ( ) dP(É) = dP = 1
+"© +"©

Z tw Levy ego o rozkładzie N(0,1)
[1 + - 1 ] Å»# exp [+ -
. Ć (x) = e ( ) dP(É) =
" +"©



1)] czyli ciÄ…g zmienna do funkcji
+"© e ( ) dP(É) =
charakterystycznej rozkł Poissona o
i ¾(É)e ( ) dP(É)
+"©
parametrze , an-na mocy tw Lave ego, że
ciąg zmierza do rozkł Poissona o
Ć (0) = i ¾(É) " 1dP(É) = iE¾
+"©
parametrze (w sensie zbieżności
Ć ¾(x) =
dystrybuant)
+"© e ( ) dP(É) =
Wyznaczmy funkcje charakterystyczną rozkł

normalnego N(0,1). GÄ™stość N(0,1) dana jest i (¾(É)e ( ) dP(É) =
+"©

( )
= exp stÄ…d - +"© ¾ (É)e ( ) dP(É)

"
StÄ…d Ć (0) =-+" ¾ 1dP(É) = -•(¾ )
( ) ( )
= +"© ( ) =
Ogólnie: Ć( )(x) = i ¾ (É)e ( ) dP(É)
+"©



+"! =

"
Ć( )(0) = i ¾ (É)1dP(É) = i •(¾ )

©

+"! =
. ( 2 )

"

JeÅ›li ¾

+"! ( ) =


"
¾ to "x " !: Ć (x) Ć (x)



+"! ( ) - =
Prawdziwa jest także implikacja odwrotna

"


[ - 2 + ( ) - ( -
) ] = (
( ) ( )
JeÅ›li Ć x ö' Ć x , " " !, to¾ ¾


Wyznaczamy funkcje charakterystycznÄ…:
) +

Rozkładu dwupunktowego:


Lemat +"! ( ) nie zależy od x,
P(P(¾ = 1) = p, P(¾ = 0) = q = 1 - p.

( ) ( )
tzn +"! ( ) = +"! = "2 Wówczas Ć x = +"© e ( ) dP É =
Wn: Jeśli ma rozkł normalny N(0,1) to
e q + e p = q + pe = 1 - p +

( ) = exp (- ) pe