3226794632

XXV. ALGEBRA ABSTRAKCYJNA

1. DZIAŁANIA (OPERACJE) I ICH RODZAJE

Działanie (operacja) - jest to przyporządkowanie różnym elementom {zwanym argumentami lub operatorami) jednego elementu {zwanego wynikiem). Uogólniając, działanie jest synonimem funkcji (odwzorowania, przyporządkowania, przekształcenia, relacji). Działania mogą dotyczyć dowolnych obiektów matematycznych: liczb, wektorów i skalarów. działań logicznych (koniunkcja, alternatywa, zaprzeczenie ...), zbiorów, przekształceń geometrycznych, a także ich złożeń, czy splotów.

Dopuszczalne są zróżnicowane formy zapisu (notacji) dla działania {funkcji) 0:

a 0 b    -    notacja wrostkowa, infiksowa,    np.    3 •( 5 - 1 ) + 2

0 (a.b)    -    notacja przedrostkowa, prefiksowa, polska,    np.    + • 3-5 1 2

(a.b) 0    -    notacja przyrostkowa, postfiksowa, odwrotna polska,    np.    3 5 1 - • 2 +

Nawiasy w notacji przed- i przyrostkowej można pominąć {nawet, gdy działanie nie jest łączne).

A.    P. 9. d staw owe d z i a ł a n i ą.. n - ą rjg.u m en to we.

Działania zeroargumentowe - działania wskazujące elementy wyróżnione, np. element neutralny.

Działania jednoargumentowe (mianie ) - dają wynik na podstawie tylko jednej wartości, np.: element odwrotny, silnia, negacja, funkcje trygonometryczne, pierwiastkowanie    ustalonego stopnia,

potęgowanie do ustalonej potęgi, funkcja wykładnicza z ustaloną podstawą, ...

Działania dwuargumentowe (binarne) - dają wynik na podstawie dwóch wartości (argumentów), np.: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, iloczyn skalamy wektorów, ...

Działania trójargumentowe - dają wynik na podstawie trzech wartości (argumentów), np. iloczyn mieszany (określony w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej w tę przestrzeń)

Działania n-argumentowe - dają wynik na podstawie n wartości (argumentów), np. dowolna funkcja przypisująca n-elementom (argumentom) jeden wynik - elementy mogą pochodzić z. różnych zbiorów.

Działania skończone (nieskończone) -dot. skończonej (nieskończonej) liczby argumentów.

B. D z i a.ł ą.n j ą_t wę w.n ęj r z n e J..zew. n ęt r z n e

Działanie wewnętrzne w zbiorze A — jest to dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego AxA w zbiór A. co oznaczamy: A x A —> A.

Dwuargumeniowe działanie wewnętrzne 0 w zbiorze A - przyporządkowuje każdej uporządkowanej parze (a. b) e A dokładnie jeden element (a 0 b) e A. co oznaczamy:

( 0 : AX A —> A ) <?> ( 0 :    /\ (aOb)eA ) » ( 0 :    /\ a 0 b = c )

a,b€ A    a,b,ceA

gdzie: a 0 b - wynik działania wewnętrznego 0 na elementach a / b.

Działanie zewnętrzne w zbiorze A nad zbiorem operatorów F - jest to dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego dwóch niepustych zbiorów Fx A w zbiór A, co oznaczamy: FxA —> A. Dwuargumentowe działanie zewnętrzne 0 w zbiorze A nad zbiorem F - przyporządkowuje każdej parze uporządkowanej (<pe F. ae A) dokładnie jeden element 0 (fp. a) e A. co oznaczamy:

(0: FxA—► A ) <=> (0:    A O(f.a)eA) <=> (0:    A 0(ę.a) = c)

ęe F.a € A    <pe F.a.ce A

gdzie: 0 (9. a) - wynik działania zewnętrznego 0 na elementach 9 i a; F - zbiór operatorów.

Przykłady: funkcje zbioru w inny (działania jednoargumentowe), mnożenie przez skalar. ogólniej - działanie grupy na zbiorze.

Uwaga: ponieważ zbiory A i F nie muszą być różne, to działanie wewnętrzne jest szczególnym przypadkiem działania zewnętrznego.

© Copyright by Iiwa Kędzi orczyk    - 223 -    www.matematyka.sosnowiec.pl