3226794651

4. POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO - KWADRYKI

A.    Równ ą n \ e . ogó I n ę

Powierzchnia stopnia drugiego - jest to niepusty zbiór punktów P = (.v, >\ z) określonych równaniem stopnia drugiego względem trzech zmiennych x,y_% z (w kartezjańskim układzie współrzędnych).

Równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego:

(*) A\X^Z + A₂y² + A₃z² + Bixy + B₂xz + B₃yz + CiX + C₂y + C₃z + D = 0

gdzie:    A² + A₂ + A₃ + B² + B\ + B₃ > 0

Uproszczone równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego:

(**) A_xx² + A₂y² + A₃z² + C_xx + C₂y + C₃z + D = 0

gdzie:    A² + A₂ 4- A\ > 0

KWADRYKI - powierzchnie stopnia dmgiego. których równania stanowią naturalne uogólnienie równań kanonicznych krzywych stożkowych (patrz str. 253) na przypadek trzech zmiennych -rozważymy tu powierzchnie stopnia drugiego, które można opisać uproszczonym równaniem (**).

Aby rozpoznać rodzaj kwadryki. należy zbadać jej przekroje płaszczyznami równoległymi do poszczególnych płaszczyzn kartezjańskiego układu współrzędnych (a więc odpowiednio płaszczyznami: x = constans, y = constans, z - constans). Otrzymane kształty przekrojów pozwalają określić daną kwadrykę.

B. Równanie, .kanoniczne

Postać kanoniczna równania (*) - otrzymana poprzez przesunięcie i obrót współrzędnych:

gdzie:    a, b, c i= 0

x²    y²    z²

K-r + M^+ Nz = U a¹    b¹    c^z

C.    R ó w n ą n i ę m a ęi e r z o wę

Postać macierzowa równania (*):

(****> X ^r ■ A ■ X + 2 • C ^T ■ X + D = 0

gdzie:

2Ai	Bi	B2 '		rH —' 1 co —		X
®i	2 A2	b3	, c =	~C2	, X =	y
s2	B 3	2A3		S) -H |C\3		z

© Copyright by Ewa Kędziorczyk

-268-

w w w. ma tematyka. sosu o wiec.p I