5038598787

Mnożąc obustronnie przez odpowiednio dużą potęgę / otrzymujemy wielomiany hi,. ..,h» takie, że

M*i.....*n)/i + ... + M* i.....T_n)f„ = f⁽.

Zatem /^f € czyli / € \^7.

Korzystając z twierdzenia Hilberta o zerach możemy wprowadzić wzajemnie

jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy ideałami radykalnynu w k[x,.....x„] a

zbiorami alinic/.nymi.

Pakt 11. Niech k będzie nulem algebraicznie domkniętym. Wówczas odwzorowanie W *— /(IV) przekształcające zbiory ajimezne na ideały radykalne jest wzajemnie jednoznaczne, którego przekształceniem odwrotnym jest J —* V(J).

Dowód. Niech W będzie zbiorem afinicznym Wówczas V(J(IV)) = IV oraz /(V(./)) s/J - ./ z twierdzenia Hilberta «> zerach i radykałno£ci ideału ./. □

Odnotujmy jeszcze prosty fakt.

Fakt 12. Jeśli IV, C IV₂ C A", to /(IV₂) c /(IV,). JeśliC J₇. to V{J₂) C V{Jy).

Przechodzimy do wprowadzenia topologii na k" związanej z pojęciom zbioru afiniczuego.

Stwierdzenie 13. Niech A będzie rodziną wszystkich zbiorów afimeznych rek’¹.

istnieje topologia (topologia Zanskiego) na kⁿ taka. że rodzina A jest rodziną wszystkich zbiorów domkniętych względem tej topologii.

Dowód. Wystarczy sprawdzić standardów warunki. Oczywiście 0 oraz kⁿ należy do A. Niech (Vj),_e/ l>ęd/.ie rodziną zbiorów afinicznych. Wówczas przecięcie wszystkich zbiorów V, jest zbiorem afinicznym (wystarczy wziąć wszystkie wielomiany opisujące zbiory V,). Jeśli zaś V, W są zbiorami afinicznymi to zbiór V U IV jest opisany przez rodzinę wszystkich iloczynów wielomianów opisujących V i IV, a więc jest afiniczny.    □

Definicja 1-1. Powinny. /< zbiór W j< t rozkładalny. gdy istnieją zbiory afiniczne (zbiory domknięte) llj, IV₂ ę IV takie, że IV - lij U IV₂. W przeciwnym wypadku powiemy, iż zbiór IV jest nierozkładainy.

Przykład 15. A " jest iiierozkładalne (dla k nieskończonego). Zbiór

{(•n-J-2) (z k- : j-,j-₂ - 0}

jest rozkładalny.

Definicja Ki. Jeśli IV test zbiorem afinicznym, lo każdy otwarty podzbiór U C W będziemy nazywać zbiorem quasi-afinicznym.

3