018 019

18

Mnożąc liczbę a przez 2 otrzymujemy:    .

2a = a_^ + J a__t 2'^1_i

yl__

<1

Jeżeli więc wynik mnożenia Jest liczbą większą lub równą jedności, to a_,| z 1, w przeciwnym wypadku a_^ = 0. Fo wykonaniu mnożenia odrzucamy część całkowitą wyniku, czyli wyraz a^ i kontynuujemy mnożenie wyznaczając dalsze współczynniki a_₂, a_j, ... itd.

1.2.3* System ósemkowy i szesnastkowy

Znaczenie tych systemów wynika z łatwości zamiany liczb w nich przedstawionych na dwójkowe i odwrotnie. Ponieważ zapisy liczb w tych systemach są krótsze od zapisu dwójkowego, są one często używane dla ułatwienia człowiekowi manipulacji na liczbach dwójkowych.

W systemie ósemkowym dysponujemy ośmioma cyframi 0-7, zaś w szesnastkowym 16 cyframi, przy czym zwykle dla oznaczenia cyfr od 10 do 15 używa się kolejnych liter alfabetu od A do F.

Aby zamienić liczbę ósemkową (szesnastkową) na binarną, należy każdą cyfrę zapisu ósemkowego (szesnastkowego) zamienić na 3-bitową (4-bitową) liczbę dwójkową. Zasada ta wynika z faktu, że 8 = 2^ i 16 = 2^.

Przykład 1.10

Liczby (3057)_e i (AF9)₁₆ zamienić na dwójkowe.

Stosując podaną zasadę konwersji mamy:

(3057)_a = (011 000 101 111)₂ 3    0    5    7

,    (AF9)₁₆ = (1010 1111 1001)₂

A P 9

Aby zamienić liczbę dwójkową na ósemkową (szesnastkową), należy w liczbie dwójkówej wydzielić 3-bitowe (4—bitowe) grupy cyfr począwszy od prawej strony i liczby w tych grupach zastąpić cyframi ósemkowymi (szesnastkowymi) .

Przykład 1.11

Liczbę (10111010001011)₂ przedstawić w systemach ósemkowym i szesnastkowym.

Mamy

(10 111 010 001 011)₂ = (27213)g 2    7    2    1    3

oraz

(10 1110 1000 1011)₂ = (2E8B)₁₆ 2 E 8 B

r O

1.2.4. Kod Gray'a

Jest to kod dwójkowy, zaliczany do kodów refleksyjnych, w których,przy

przejściu od dowolnej liczby całkowitej do		liczby większej lub mniejszej
0 jedność, następuje zmiana tylko	na jednej	pozycji zapisu.
Poniżej przedstawiono dziesięć	kolejnych liczb naturalnych w systemie
dziesiętnym, dwójkowym 1 Gray'a.	Przy kodzie Gray'a zaznaczono poziomymi
kreskami miejsca zwierciadlanego odbicia odpowiednich grup bitów, usprawiedliwiające nazwę kod refleksyjny.
<“>10	(q)2	(^11 ^ Gray
0	OOOO	0000
1	0001	0001
2	0010	0011
5	0011	0010
4	0100	0110
5	0101	0111
6	0110	0101
7	0111	0100
6	1000	1100
9	1001	1101

Algorytm zamiany N-bitowej liczby wyrażonej w naturalnym^systemie dwójkowym na liczbę w kodzie Gray'a dany jest wzorem

S_t = \ © b_l+1 , i = 0,1....,N    (1.5)

zaś zamiana odwrotna przebiega według wzorów

^ ^{= 8}K

^bi = ^bi+1 © ^ei>    i = N-1, N-2.....0    (1.6)

We wzorach tych b^^ oraz g^ oznaczają i-te cyfry liczby wyrażone w kodzie, odpowiednio, binarnym i Gray'a, zaś © Jest operacją sumy modulo 2 w algebrze Boole'a (patrz p. 1.3.2 1 przykłady 1.12 i 1.13).

Przykład 1.12

liczbę (101110110)2 przedstawić w kodzie Gray'a.

Na podstawie wzoru (1.5) i tabeli funkcji © podanej na rys. 1.7a

a	b	a©b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

b).

(I 0 1 1 1 0 1 1 0)7

\N\1\N\I\I\N

(1110 0 110 l)yuv

a)

(1 0 0 0 1 1 0 1)_6IAY

LLLLLLU

(1 1 1 1 0 1 1 0)2

c)

Rys. 1.7. Przykłady konwersji pomięnzy kodem binarnym i Gray a:a) tablica funkcji ©    , b) konwersja kodu bin*rnego_; na kod Gray'a, c) konwersja ko

du Gray'a na’binarny