018 019

18

Mnożąc liczbę a przez 2 otrzymujemy!    _t

2a =    + f a_. 2¹"¹

i*ł__

<1

Jeżeli więc wynik mnożenia jest liczbą większą lub równą Jedności, to a_^ = 1, w przeciwnym wypadku a_^ = 0. Po wykonaniu mnożenia odrzucamy część całkowitą wyniku, czyli wyraz a_^ i kontynuujemy mnożenie wyznaczając dalsze współczynniki a_₂, ^a_ji ••• itd.

1.2.3* System ósemkowy i szesnastkowy

Znaczenie tych systemów wynika z łatwości zamiany liczb w nich przedstawionych na dwójkowe i odwrotnie. Ponieważ zapisy liczb w tych systemach są krótsze od zapisu dwójkowego, są one często używane dla ułatwienia człowiekowi manipulacji na liczbach dwójkowych.

W systemie ósemkowym dysponujemy ośmioma cyframi 0-7, zaś w szesnastkowym 16 cyframi, przy czym zwykle dla oznaczenia cyfr od 10 do 15 używa się kolejnych liter alfabetu od A do F.

Aby zamienić liczbę ósemkową (szesnastkową) na binarną, należy każdą cyfrę zapisu ósemkowego (szesnastkowego) zamienić na 3-bitową (4-bitową) liczbę dwójkową. Zasada ta wynika z faktu, że 8 = 2^ i 16 = 2^.

Przykład 1.10

liczby (3057)g i (AF9)₁₆ zamienić na dwójkowe.

Stosując podaną zasadę konwersji mamy:

(3057)₈ = (011 000 101 111)₂ 3    0    5    7

,    (AF9)₁₆= (1010 1111 1001)₂

A F 9    #

Aby zamienić liczbę dwójkową na ósemkową (szesnastkową), należy w liczbie dwójkówej wydzielić 3-bitowe (4—bitowe) grupy cyfr począwszy od prawej strony i liczby w tych grupach zastąpić cyframi ósemkowymi (szesnastkowymi) .

Przykład 1.11

Liczbę (10111010001011)₂ przedstawić w systemach ósemkowym i szesnastkowym.

Mamy

(10 111 010 001 011)₂ = (27213)_e 2    7    2    1    3

oraz

(10 1110 1000 1011)₂ = (2E8B)₁₆ 2 E 8 B

r o

1.2.4. Kod Gray'a

Jest to kod dwójkowy, zaliczany do kodów refleksyjnych, w których,przy przejściu od dowolnej liczby całkowitej do liczby większej lub mniejszej o jedność, następuje zmiana tylko na jednej pozycji zapisu.

Poniżej przedstawiono dziesięć kolejnych liczb naturalnych w systemie dziesiętnym, dwójkowym i Gray'a. Przy kodzie Gray'a zaznaczono poziomymi kreskami miejsca zwierciadlanego odbicia odpowiednich grup bitów, usprawiedliwiające nazwę kod refleksyjny.

(h)io	(a)2	(^n^Grs
0	OOOO	0000
1	OOOI	0001
2	0010	0011
5	0011	0010
ą	0100	0110
5	0101	0111
6	0110	0101
7	0111	0100
8	1000	1100
9	1001	1101

Algorytm zamiany N-bitowej liczby wyrażonej w naturalnym^systemie dwójkowym na liczbę w kodzie Gray'a dany jest wzorem

g_t = b_t © b_l+1 , i = 0,1,...,N    (1.5)

zaś zamiana odwrotna przebiega według wzorów ‘'K ^{= S}N

^bi ^{= b}i+1 © ^ei’    i = N-1, N-2,...,0    (1.6)

We wzorach tych b_Ł oraz g^ oznaczają i-te cyfry liczby wyrażone w kodzie, odpowiednio, binarnym i Gray'a, zaś © Jest operacją sumy modulo 2 w algebrze Boole'a (patrz p. 1.3.2 1 przykłady 1.12 i 1.13).

Przykład 1.12

Liczbę (lOmonOJg przedstawić w kodzie Gray^a.

Na podstawie wzoru (1.5) i tabeli funkcji © podanej na rys. 1.?a

dokonujemy konwersji jak na rys. 1,?b.

O

a	b	a©b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

0 1110 110);

\I\I\I\N\I\N (1110 0 110 1^

a)

¥f

(1 0 0 0 1 1 0 1)_MA¥

LLLLLLU

(1 1 1 1 0 1 1 o)_z

b).

c)

Rys. 1.7. Przykłady konwersji pomiędzy kodem binarnym i Gray'a:a) tablica funkcji ©    , b) konwersja kodu binarnego, na kod Gray'a, c) konwersja ko

du Gray'a na'binarny