5038598807

Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 2- dr Adam Ćmiel. [e-mail]

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Niech A" będzie ustalonym niepustym zbiorem.

Def. Dwuargumentowym d/ialanicm wewnętrznym w zbiorze A'nazywamy funkcję li: X x X > X . Jeśli x g X i ye X, to h(x, y) ę X nazywamy wynikiem działania h na argumentach .v iy. Wygodniejszy jest zapis działania x* y zamiast h(x.y).

Przykłady

1.    dodawanie (+) i mnożenie (•) są działaniami wewnętrznymi w zbiorach M Z. W, R

2.    odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym w N

3.    działanie m ® n w" jest działaniem wewnętrznym w N

4.    zbiór obrotów kwadratu wokół jego środka przekształcających go na siebie. Oznaczmy Ok obrót o kąt k. Wobec tęgo X - {O₀,O_l,O₂,O_i}. Jako działanie wewnętrzne rozpatrzymy składanie (~) obrotów. Możemy ułożyć następująca tabelkę działania

5.

Działania a(ł)b-

(i + b 2 '

a+b-a+ b + \,

a *b = a -b + ab są wewnętrzne w R

o	0„	0,	o?	O,
oft	Oft	0|	o?	O.
O,	O,	o2	o?	Oo
o2	o2	o,	Oo	O,
03	O,	Oo	O,	o2

Niech A i F będą dwoma ustalonym niepustymi zbiorami.

Def. Dwuargumentowym działaniem zew nętrzny m w zbiorze Xnad zbiorem F nazywamy funkcję g:FxX ->X .

Przykład. Niech X będzie zbiorem wektorów na płaszczyźnie a F R . Działaniem zewnętrznym w zbiorze wektorów Xnad zbiorem R jest mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą.

Uwaga. Ponieważ zbiory Xi Fnic muszą być różne, to działanie wewnętrzne jest szczególnym przypadkiem działania zewnętrznego.

Wybrane własności działania wewnętrznego

Niech * będzie działaniem wewnętrznym w zbiorze X.

Def. Element eeX nazywamy elementem neutralnym działania * gdy, VxeX x+e=e*x x.

I