5038598809

Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 2- dr Adam Ćmiel. [e-mail]

W grupie (A”. *) potrafimy rozwiązać równanie

a*x=b    (rozwiązaniemjest x~a*b

oraz równanie

x*a=b    (rozwiązaniemjest x~b*a)

Addytywny i multiplikatywny zapis działania

•    Jeżeli działanie (*) ma podobne własności do dodawania liczb, to działanie nazywamy addytywnym i używamy symbolu (+). Element neutralny c działania addytywnego (+) nazywamy zerem i oznaczamy e^O, natomiast element symetryczny do elementu x nazywamy elementem przeciwnym i oznaczamy x--x.

•    Jeżeli działanie (*) ma podobne własności do mnożenia liczb, to działanie nazywamy multiplikatywnym i używamy symbolu (•) . Element neutralny e działania multiplikatywnego (•) nazywamy jedynką i oznaczamy e= 1, natomiast element symetryczny do elementu x nazywamy elementem odwrotnym i oznaczamy x -x'^x.

Przykłady grup

•    ({—1,1}, •)    (multiplikatywna) grupa abelowa

•    (/?,+)    (addytywna) grupa abelowa

•    (R . •)    nie jest grupą (multiplikatywną) bo 0 nie ma elementu odwrotnego)

•    (/?-{()},•)    (multiplikatywna) grupa abelowa

•    zbiórX {(J₀,O,,O₂,O₃} obrotów kwadratu wokół jego środka przekształcających go na siebie z działaniem składania (o) obrotów jest gmpą abclową.

•    Zbiór A*-{0.1,2.3} z działaniem a ©6 - "reszta z dzielenia a+b przez 4” jest grupą abclową

Podgrupa

Def. Niech (A\*) będzie grupą a YcXpodzbiorem zbioru X. Jeśli (Z,*) jest grupą, to (Z.*) nazywamy podgrupą grupy (A',*).

Morfizmy (odwzorowania) grup

Niech (AT,©) i (Z,®) będą grupami.

Def. Odwzorowanie X —> Znazywamy homomorfizmem grupy (A\0) w grupę (Z,®), gdy Vjr,,x₂ g X : h(x_x © x₇) ^ h(x_x) ® h(x₇). Gdy odwzorowanie h jest bijekcją .to Ir. X->Z nazywamy izomorfizmem grup (A",©) i (Z,®).

Przykłady

•    Grupy (/?*, ■ ) i (/?. + ) są izomorficzne. Izomorfizm ustanawia funkga /i(jr)=log(Ar).