5038598808

Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 2- dr Adam Ćmiel. [e-mail]

Tw. Jeżeli działanie wewnętrzne posiada element neutralny, to jest on jedyny.

Dow.(nicwprost) Przypuśćmy, żc działanie * posiada dwa różne elementy neutralne C\ * ej.

e,~ e, * ey~ e? (sprzeczność)

Pierwsza równość jest konsekwencją faktu, że ej jest elementem neutralnym a druga konsekwencją faktu, że t’\ jest elementem neutralnym.

Def. Działanie * nazywamy przemiennym, gdy Vx,yzX x*y - y*x.

Def. Działanie * nazywamy łącznym, gdy \/x,yjeX (x*y)*z - x+{y*z)

Element symetryczny (odwrotny, przeciwny)

Niech * będzie działaniem wewnętrznym w zbiorze A'posiadającym element neutralny e.

Def. Element x e X nazywamy elementem symetrycznym (odwrotnym , przeciwnym) do elementu

xeX, gdy x *x =x • x = e.

Tw. Jeżeli działanie łączne posiada element neutralny, to element symetryczny do danego elementu, (o ile istnieje) jest wyznaczony jednoznacznie.

Dow. (niewprosl) Niechv^fi i v- będą elementami symetrycznymi do danego elementu a-. Wówczas

y\= y\*e= .Vi*(.t*v₂)-( yi**)*yf= e*yr=yi.

Podstawowe struktury algebraiczne Grupa

Def. Niech X*0 będzie niepustym zbiorem a * działaniem w zbiorze A\ Parę (A', *) nazywamy grupą jeżeli

1.    \/x,ycX    x*y cX    (działanie * jest wewnętrzne)

2.    \fx,y,zęX (jr*y)*:r ^- x*(y*²) (działanie * jest łączne)

3.    Ii eeX    VxeX    x*e=e*x~x    (istnieje element neutralny działania *    (jest on jedyny!)

4.    VxgX Sx g X    x * x - x * x - c (dla każdego elementu istnieje    element symetryczny)

Jeżeli dodatkowo jest spełniony warunek

5.    V:x,yeX    x*y =    \*x.    (przemienność działania *)

to gnipę (A', *) nazywamy grupą przemienną albo abclową ¹ .

Grupę o skończonej liczbie elementów nazywamy grupą skończoną. Jeżeli X jest gmpą skończoną mającą n elementów, to mówimy, że rząd grupy AT jest równy n. co zapisujemy X-n. Jeżeli grupa jest nieskończona, to piszemy AT=co.

2

1

Niels Abel (1802-1829) matematyk norweski