5038598810

Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 2- dr Adam Ćmiel. [e-mail]

Ciało

Intuicja. Ciałem nazywamy zbiór w którym potrafimy wykonywać 4 podstawowe działania (+),(-),

(•), (: )

Ponieważ odejmowanie to dodawanie elementu przeciwnego a dzielenie to mnożenie ptzez odwrotność wystarczy rozważać 2 działania (+) i (•).

Def. Niech X*0 będzie niepustym zbiorem a © i ® działaniami X. Trójkę (X, ©. ®) nazywamy ciałem jeżeli

1.    Vx,ye X x®y gX

2.    \/x,y,z&X (*©v) ©r - .v©(y©r)

3.    3 OeAf \/xgX x®O=jk0O=jc

4 VxeX 3-xeX x®(-x)=(-x)®x=0

5.    \fx,yeX x®y=y®x

(postulaty 1:5 można krótko zapisać (A”, ©) jest grupą przemienną )

6.    Vx,vtA' x®y cAf

7.    Vx,y,zzX (x®y)®z = x®(y®z)

8.    3U* VxęX x®l=\®x=x

9.    VxeAf-{0} 3x 'eX x®(x^]) = x^]®x=l (postulaty 6+9 można krótko zapisać (A'- {0}. ©) jest grupą)

10.    Vx.y,zcX (x®y) © z - (x © z) 0 (y ® z) i r©( x®y) - (z ®x) © (z 8 y)

(® jest rozdzielne względem ©).

Jeżeli ponadto

11.    Vx.>’cA' Jt®y- v©x to ciało nazywamy ciałem przemiennym

Przykłady ciał (sprawdzić na ćwiczeniach)

•    przemienne ciało liczb wymiernych (W

•    przemienne ciało liczb rzeczywistych (/?,+,•)

•    (A ,+,•) gdzie A - {a +b-Jl :a,be W}

Poddało

Def. Niech (A", ©, ®) będzie ciałem a YcXpodzbiorem zbioru X. Jeśli struktura (Y, ©, 0) jest ciałem, to (Y, ©, 0) nazywamy podciąłem ciała (X, ©, ®).

Łatwo pokazać, że ciało (W,+, ) jest podciąłem ciała (A ,+,*) gdzie A - \a + b-Jl :a,be IV) natomiast ciało (A ,+,•) jest podciąłem ciała (R

4