5987093069

Kapitalizacja ciągła

Łatwo zauważyć, że przy tej samej stopie nominalnej im częściej następuje kapitalizacja tym szybciej rośnie kapitał, czyli kapitał rośnie tym bardziej im krótszy jest czas kapitalizacji. Graniczną wartość otrzymamy gdy maksymalnie skrócimy czas kapitalizacji, czyli gdy k —> oo. Wielkość kapitału oczywiście zależy od czynnika oprocentowującego, a więc zbadajmy granicę:

Jim Pk = Jim (1 4- ik)^k = Jim ^1 + j = e'^nom

Mówimy wtedy o ciągłej kapitalizacji odsetek lub o oprocentowaniu ciągłym.

Mamy zatem następujący model oprocentowania ciągłego

S_n = K₀e^icn, /„ = K„(e^icn - 1) gdzie i_c jest stopą nominalną oprocentowania ciągłego.

Rozważmy teraz równoważność stóp procentowych: rocznej stopy oprocentowania składanego i nominalnej stopy oprocentowania ciągłego. Oczywiście stopa nominalna oprocentowania ciągłego nie jest rozwiązaniem.

Skonstruujemy najpierw roczny czynnik oprocentowujący w oprocentowaniu ciągłym, czyli stosunek kapitału po okresie n + 1 do kapitału po okresie n:

K₀e^icn+1

Z rozważań nad stopą efektywną wynika, że stopa roczna będzie równoważna stopie oprocentowania ciągłego, gdy odpowiednie czynniki oprocentowujące będą równe, czyli i jest roczną stopą równoważną stopie oprocentowania ciągłego i_c gdy

1 + i = e'^c.

Zadanie 32. Jakie największe i najmniejsze odsetki wygeneruje kapitał 5000 zł w ciągu 5 lat z roczną stopą procentową wynoszącą 5%? 10% [1420,13,1250; 3243,61, 2500]    □

Zadanie 33. Czy można tak dobrać okres kapitalizacji by kapitał 4500 zł wygenerował w ciągu 3 lat odsetki co najmniej 1250 zł przy rocznej stopie procentowej 8%?    □

Zadanie 34. Na jaki procent (a) miesięczny (b) kwartalny (c) roczny trzeba złożyć lokatę by po roku otrzymać największe możliwe odsetki przy rocznej stopie nominalnej 6%?

[(a) ok. 0,5%, (b) ok. 1,51%, (c) ok. 6,18%]    □

Zadanie 35. Jaka jest roczna stopa oprocentowania równoważna nominalnej stopie oprocentowania ciągłego 10%?

[10,5% - na 10 tys, 2 ciągu 5 lat różnica tylko ok. 13 zł]    □

Zadanie 36. Jaką stopę oprocentowania rocznego trzeba zastosować by wygenerować takie same odsetki jak trzyletnia lokata kapitalizowana w sposób ciągły ze stopą nominalną 4,25% rosnącą co rok o 0,25 punktu procentowego?

[4,6% - stopa równoważna stopie przeciętnej (czyli średeniej arytmetycznej) stóp 4,25%, 4,5%, 4,75%]    □