�� Instytut Mechaniki i In|ynierii Obliczeniowej
WydziaB Mechaniczny Technologiczny
Politechnika Zlska
www.imio.polsl.pl
LABORATORIUM�
WYTRZYMAAOZCI�MATERIAA�W�
Zastosowanie�
metody�element�w�skoDczonych�
do�rozwizywania�ukBad�w�prtowych�
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�2�
1. CEL�WICZENIA�
f& Zapoznanie si z metod element�w skoDczonych w aspekcie zastosowania do rozwizy-
wania ukBad�w prtowych.
f& Zapoznanie si z pakietem metody element�w skoDczonych (PROZC, KRATA, BELKA,
RAMA2D, PRO-MES, ABC, PATRAN lub podobne) i jego obsBug w przypadku zagad-
nieD prtowych.
f& Wyznaczenie rozkBadu przemieszczeD i napr|eD w ramach i kratownicach statycznie wy-
znaczalnych i niewyznaczalnych.
2. WPROWADZENIE�
Metoda element�w skoDczonych (MES) jest jedn z najcz[ciej stosowanych metod kom-
puterowych (numerycznych) sBu|cych do rozwizywania tzw. zagadnieD brzegowych me-
chaniki. Istota metody sprowadza si do zastpienia modelu cigBego ukBadu mechanicznego
modelem dyskretnym. Model dyskretny przyjmuje w rezultacie posta ukBadu r�wnaD alge-
braicznych.
W niniejszym rozdziale przedstawiono zastosowanie MES do rozwizywania ukBad�w
prtowych, w tym prt�w rozciganych ([ciskanych), belek, kratownic i ram.
Podstawy teoretyczne metody element�w skoDczonych dla ukBad�w prtowych przedsta-
wiono w literaturze zamieszczonej na koDcu rozdziaBu. W niniejszym rozdziale przedstawiono
metod element�w skoDczonych wykorzystujc koncepcj caBki wa|onej oraz tzw. sformuBo-
wanie sBabe, kt�re szczeg�Bowo przedstawiono w [2]. Inne, alternatywne sformuBowanie, r�w-
nowa|ne niniejszemu, mo|na wyprowadzi z warunku minimalizacji energii potencjalnej.
3. PODSTAWY�TEORETYCZNE�
3.1 Metoda element�w skoDczonych dla prt�w rozciganych ([ciskanych) i kratownic
Rozwa|any jest prt prosty o zmiennym przekroju A(x) i dBugo[ci L, wykonany z materiaBu
o module Younga E, obci|ony obci|eniem cigBym q(x) rozBo|onym wzdBu| dBugo[ci prta
i siB Q0 na koDcu (rys. 1a, b).
Pole przemieszczeD osiowych speBnia nastpujce r�wnanie r�|niczkowe
d du(x)
�#�#
a(x) + q(x) = 0 dla 0 <� x <� L , (1)
�#�#
dx dx
�#�#
kt�re nale|y uzupeBni warunkami brzegowymi w postaci:
du
�# �#
u(0) = u0, �#a �# = Q0 , (2)
�# �#
dx
x= L
gdzie:
a = a(x)=A(x)E sztywno[ na rozciganie.
Aby rozwiza r�wnanie (1), tzn. znalez pole przemieszczeD u(x) przy warunkach brze-
gowych (2), dzieli si obszar prta �(x) na N odcink�w o dBugo[ci he , e = 1,2,...,N, kt�re
nazywa si elementami skoDczonymi (rys. 1c).
Rozwa|my typowy element skoDczony �e = (xA, xB) = (xe, xe+1), kt�rego koDce maj wsp�B-
rzdne x = xA i x = xB (rys. 2a).
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�3�
Oznaczmy przemieszczenia wzBowe uie i siBy normalne Qie , i = 1,2, zdefiniowane na rys.
2b. Poszukiwane pole przemieszczeD na elemencie �e aproksymowa bdziemy za pomoc
n
e e
pewnego wielomianu potgowego u(x) H" U = N (x) , gdzie ue s nieznanymi warto[-
"uj j j
j=1
e
ciami wzBowymi przemieszczeD, natomiast N (x) s funkcjami interpolacyjnymi zwanymi
j
tak|e funkcjami ksztaBtu.
W�wczas r�wnanie r�|niczkowe (1) speBnione jest na elemencie �e tylko w spos�b przy-
bli|ony. W celu obliczenia nieznanych warto[ci przemieszczeD wzBowych ue |damy, aby
j
e
r�wnanie r�|niczkowe (1) speBnione byBo przez przybli|enie U w sensie tzw. caBki wa|onej,
kt�ra okre[lona jest nastpujco:
xB
d du
�#
w(x) a + q�# dx = 0 , (3)
+"
�#dx dx �#
�#�#
xA
gdzie w(x) tzw. funkcja wa|ona.
a)
du
�# �#
Q0 = a
�# �#
dx
�# �#
x=L
x
L
b)
q(x)
u = u0 a" 0
du
a a" Q0
dx
x
q(x)
c)
h1 h2 he hN
2 e e+1 N+1
... ...
1 2 e N
Numer elementu Numer wzBa
Rys. 1. a) Prt rozcigany; b) idealizacja matematyczna;
c) dyskretyzacja elementami skoDczonymi
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�4�
CaBkujc r�wnanie (3) przez cz[ci otrzymuje si:
xB
dw du
�#
0 = a - wq�#dx - w(xA)QA - w(xB)QB , (4)
�#�#
+"
dx dx
�#�#
xA
gdzie:
du du
�#a �# �# �#
-QA = , - QB = a (5)
�# �# �# �#
dx dx
�# �# �# �#
xA xB
s siBami normalnymi w wzBach elementu.
R�wnanie (4) nazywa si sformuBowaniem sBabym zagadnienia brzegowego opisanego
r�wnaniem r�|niczkowym (1) z warunkami brzegowymi (2). Termin sformuBowanie sBabe
pochodzi od tego, |e w r�wnaniu (4) sBabsze s wymagania dotyczce r�|niczkowalno[ci
pola przemieszczeD u(x).
xB
a)
xA he
x = x - xA
A B
x
x
x = 0
x = he
b)
e e
u(xA) = u1 u(xB ) = u2
du du
�# �# �# �#
e e
Q1 =- a Q2 = a
�# �# �# �#
1 2
dx dx
�# �# �# �#
x=xA x=xB
Rys. 2. a) Typowy element skoDczony; b) definicja przemieszczeD i siB wzBowych
W r�wnaniu r�|niczkowym (1) u(x) musi by funkcj dwukrotnie r�|niczkowaln, nato-
miast w sformuBowaniu sBabym (4) wymaganie r�|niczkowalno[ci obni|one jest o jeden rzd
e
i funkcja U , aproksymujca pole przemieszczeD u(x) na elemencie skoDczonym �e, mo|e
by funkcj liniow i przyjmuje posta:
2
ee e e ee
U (x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2 = (x)ue , (6)
"N j j
j=1
gdzie funkcje ksztaBtu (funkcje interpolacyjne) wyra|aj si wzorami:
xB - x x - xA
e e
N1 (x) = , N2 (x) = (7)
xB - xA xB - xA
W metodzie element�w skoDczonych podstawowe r�wnania metody wyprowadzi mo|na
korzystajc ze sformuBowania sBabego (4) przyjmujc, |e pole przemieszczeD aproksymowane
jest przybli|eniem (6), a funkcja wagowa wyra|ona jest przez funkcj ksztaBtu, tzn.
ee
w(x) = N1 (x) i w(x) = N2 (x) . Otrzymuje si w�wczas dwa r�wnania, kt�re w postaci macie-
rzowej przyjmuj posta:
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�5�
e e
�# �# ue = f + Qe ; (8)
{ } { } { }
�#K �#
gdzie:
e e
�# �# �# �#
= kwadratowa macierz sztywno[ci elementu zdefiniowana nastpujco:
�#K �# �#Kij �#
xe+1
�# dN dN
dNie e �# he �# dNie e �#
e jj
Kij = ae ae dx (9)
�#�#dx = �#�#
+"+"
0
dx dx dx dx
xe �#�# �#�#
e
f = fie macierz kolumnowa siB okre[lona zale|no[ci:
{ } { }
xe+1 he
fie = qeNiedx = qeNiedx (10)
+"+"
xe 0
oraz:
2
e
(xie)Qe = Qie , (11)
"N j j
j=1
przy czym he = xB - xA = xe+1 - xe jest dBugo[ci e-tego elementu skoDczonego.
e e
�# �#
Macierze i f dla liniowych funkcji ksztaBtu (7) maj posta:
{ }
�#K �#
1
�#
e
�# �#ae �# -1
=
�#
�#K �#he �# 1, (12)
�#-1 �#
�# �#
e
{ }qehe 1 (13)
f =
�#1�#
2
�# �#
Macierz sztywno[ci elementu (12) jest macierz symetryczn. W r�wnaniach (9), (10),
(12) i (13) przyjto, |e ae i qe przyjmuj staBe warto[ci na �e.
W przypadku kratownicy (ukBadu prtowego wykonanego z prt�w poBczonych przegu-
bowo i przenoszcych tylko rozciganie bdz [ciskanie) przemieszczenia wzBowe i siBy w-
zBowe wygodnie jest przedstawi w ka|dym wzle za pomoc dw�ch skBadowych w ukBadzie
lokalnym (rys. 3a) jak i globalnym (rys. 3b).
e
y
e
u4
u3 x y
u4 e
e
Q3 2 e
u3
e
2 Q3
e
e
Q4
Q4 e
y
e
u2
u2 u1e �e � �
e
e
Q1
u1
he 1
e
1
Q2
e
e
Q2
Q1
x x
0 0
a) b)
Rys. 3. Element skoDczony kratownicy:
a) w ukBadzie lokalnym; b) w ukBadzie globalnym
Zale|no[ midzy przemieszczeniami wzBowymi i siBami wzBowymi w ukBadzie lokal-
nym (rys. 3a) ma posta:
e e
�# �# u = Qe (14)
{ } { }
�#K �#
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�6�
e
�# �#
Macierz sztywno[ci elementu kratownicy w ukBadzie lokalnym jest wyra|ona nast-
�#K �#
pujco:
1 0 -1 0
�# �#
e
�# �#
�# �#EeAe �# 0 0 0�# , (15)
=
�#K �#
he �# sym. 1 0�#
�#
0�#
�# �#
gdzie:
EeAe sztywno[ na rozciganie ([ciskanie) e-tego elementu kratownicy;
he dBugo[ e-tego elementu kratownicy.
W ukBadzie globalnym (rys. 3b) macierzowe r�wnanie dla e-tego elementu ma posta:
e
�# �# ue = Qe , (16)
{ } { }
�#K �#
gdzie macierz sztywno[ci elementu:
T
e e e e
�# �# �# �# �# �# �# �# (17)
=
�#K �# �#T �# �#K �# �#T �#
e
�# �#
Macierz transformacji ma posta:
�#T �#
cos� sin� 0 0
�#�#
�#�#
e
�# �#�#-sin� cos� 0 0 �# (18)
=
�#T �#�# 0 0 cos� sin� �#
�#�#
0 0 -sin� cos�
�#�#
Szczeg�Bowy opis metody element�w skoDczonych dla prta rozciganego ([ciskanego)
i pBaskiej kratownicy mo|na znalez w pracy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu za-
gadnieD (odpowiednio PROZC i KRATA) znajduj si na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.2 Metoda element�w skoDczonych dla prt�w zginanych i ram
Rozwa|any jest prt prosty (belka) o zmiennej sztywno[ci b(x)=EI(x) (E moduB Younga,
I moment bezwBadno[ci) i dBugo[ci L, obci|ony obci|eniem cigBym o intensywno[ci q(x)
oraz siB F0 i momentem M0 na koDcu (rys. 4a).
Pole przemieszczeD poprzecznych (ugi) v = v(x) speBnia r�wnanie r�|niczkowe:
22
�#�#
dd v(x)
= q(x) dla 0<�x<�L (19)
dx2 �#b(x) dx2 �#
�#�#
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�7�
R�wnanie (19) nale|y uzupeBni warunkami brzegowym:
dv �#
v(0) = v0, � = = �0 �#
x=0
dx
�#
(20)
�#
23 �#
d v d v
-b = M0, - b = F0 �#
dx2 x=L dx3 x=L �#
Midzy momentami gncymi M, siBami poprzecznymi T i obci|eniami cigBymi q(x) za-
chodz nastpujce relacje (rys. 11.4b):
2
d v dM dT
M = -b , T = , = -q (21)
dx2 dx dx
a)
q(x)
F0
M0
x
y
b)
M M+dM
x
dx
T T+dT
Rys. 4. a) Belka zginana; b) siBy wewntrzne w belce
Aby rozwiza r�wnanie (19), tzn. znalez pole ugi v(x) przy warunkach brzegowych
(20), dzielimy obszar prta �(0, L) na N element�w skoDczonych (rys. 5a).
Rozwa|my typowy element skoDczony �e(xe, xe+1) ze zdefiniowanymi na rys. 5b prze-
mieszczeniami uog�lnionymi (v,� ) i siBami uog�lnionymi (T, M ).
Dla przyjtych zwrot�w przemieszczeD i siB uog�lnionych wprowadzono nastpujc no-
tacj:
dv
� = -
(22)
dx
oraz
22
�#�#
�# �# �# �#
d d v d v
ee
Q1 a" , Q2 a"
�#dx dx2 �#
�#b �# �#b dx2 �#
xe +1 xe
�# �# �# �#
�#�#
(23)
22
�#�#
�# �# �# �#
d d v d v
ee
Q3 a"
�#dx dx2 �# �#b dx2 �#
�#b �#, Q4 a"
xe +1 xe
�# �# �# �#
�#�#
gdzie:
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�8�
e e
Q1 ,Q3 siBy poprzeczne;
e e
Q2 ,Q4 momenty gnce.
a)
N N+1
1 2
h1 h2 he hN
b)
e e
�1 = u2 �2 = u4
e e
v1 = u1 v2 = u3
e e
Q2 Q4
x
2
1
e e
dx
Q1 Q3
xc
x
Rys. 5 a) PodziaB belki na elementy skoDczone;
b) definicja przemieszczeD i siB uog�lnionych
Ugicie v(x) bdzie aproksymowane na elemencie �e za pomoc pewnego wielomianu
Ve(x). W�wczas r�wnanie r�|niczkowe (19) speBnione jest na elemencie �e w spos�b przy-
bli|ony. {damy, aby r�wnanie (19) speBnione byBo przez Ve w sensie caBki wa|onej:
xe +1
2 2
�# �#
�# �#
d d v
0 = w(x) (24)
�#dx dx2 - q�# dx
�#b �#
+" 2
�# �#
xe �# �#
gdzie: w(x) funkcja wa|ona.
CaBkujc (24) przez cz[ci otrzymujemy nastpujce sformuBowanie sBabe dla belki:
xe +1
2 2
�#�# dw dw
d v d w
�# �# �# �#
ee e e
0 = Q4 (25)
�#b dx2 dx2 - wq�#dx - w(xe)Q1 - �# �#Q2 - w(xe+1)Q3 - �# �#
+"
xe xe+1
dx dx
�# �# �# �#
�#�#
xe
Warto zwr�ci uwag, |e rzd r�|niczkowalno[ci funkcji ugicia v(x) zostaB obni|ony
z rzdu czwartego do rzdu drugiego. Poniewa| caBkowita liczba warunk�w dotyczcych
przemieszczeD uog�lnionych dla elementu belkowego wynosi cztery (po dwa w ka|dym
wzle), wic wygodnie jest przyj czteroparametrowy wielomian aproksymujcy dla v(x):
4
e e e e e e e e e e e
v(x) H" V (x) = u1 N1 + u2N2 + u3N3 + u4N4 = N , (26)
"uj j
j=1
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�9�
e
gdzie funkcje ksztaBtu N maj posta:
j
23 2
�# - xe x
�# �# - xe
�#
x
ee
N1 = 1- 3�# �# + 2�# �# , N2 = -( - xe �#1- �#
x
)�# x - xe �#
he he he �#
�# �# �# �# �#
(27)
23
�#�# x - xe �#2 x - xe �#
�# - xe x
�# �# - xe
�#
x
ee
N3 = 3�# �# - 2�# �# , N4 = -( - xe �#�# �# - �#
x
)
he he
�# �# �# �# �#
�#�# he �# he �#
�#
W metodzie element�w skoDczonych podstawowe r�wnania metody wyprowadzamy ze
sformuBowania sBabego (25) przyjmujc przybli|enie (26) oraz zakBadajc, |e funkcja wa|ona
e e e e
w(x) wyra|ona jest przez funkcje ksztaBtu, tzn. w = N1 , w = N2 , w = N3 i w = N4 .
Otrzymujemy w�wczas cztery r�wnania, kt�re w postaci macierzowej maj posta :
e
e e e e
�# �#
K11 K12 K13 K14 �#u1 �# �#F1e �#
�# �# �# �#
�# �#
e e
e e e e
�#u �# �#F �#
2 2
�#K21 K22 K23 K24 �#
a" , (28)
�# �# �# �#
e e e e
e e
�#K31 K32 K33 K34 �#
�#u3 �# �#F3 �#
�# �#
e e e e
e
K42 K43 K44 �# �#u4 �# �#F4e �#
�#K41
�# �# �# �#
gdzie:
e
�# �# macierz sztywno[ci elementu belkowego, kt�rej elementy okre[lone s nas-
�#K �#
tpujco:
xe+1 2
d N
d Nie 2 e
e j
Kij = dx (29)
+"
dx2 dx2
xe
e
F macierz kolumnowa siB:
{ }
xe+1
Fie = Nieqdx - Qie (30)
+"
xe
e e
Wsp�Bczynniki Kij s symetryczne, tzn. Kij = Ke .
ji
Przy przyjtej aproksymacji ugi v(x) za pomoc (26) macierze sztywno[ci i siB przyjmuj
posta:
6
�# -3h -3 -3h
�#
�#�#
2b
e
�#-3h 2h2 3h h2 �#, (b = EI = const.)
�# �# =
�#K �#h3 �# -6 3h 6 3h �#
�#�#
�#-3h h2 3h 2h2 �#
(31)
6 Q1
�# �# �# �#
�# �# �#Q �#
qh
�#-h�# �# �#,
e 2
F =+ (q = const.)
{ }12 6
�# �# �# �#
�# �# �#Q3 �#
�# �# �#Q4 �#
h
�# �# �# �#
Znajc macierze sztywno[ci i siB dla elementu belkowego mo|na okre[li macierz sztyw-
no[ci i siB dla caBej belki uwzgldniajc warunki zgodno[ci uog�lnionych przemieszczeD i wa-
runki r�wnowagi dla siB uog�lnionych.
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�10�
Rozwa|my pBask ram, kt�r dzielimy na elementy skoDczone �e, e = 1,2,...,N. Element
skoDczony dla ramy jest zBo|eniem elementu prtowego o sztywno[ci EeAe i obci|eniu
cigBym qR i elementu belkowego o sztywno[ci EeIe i obci|eniu cigBym qZ. W ka|dym wzle
mamy po trzy uog�lnione przemieszczenia wzBowe i odpowiadajce im uog�lnione siBy wz-
Bowe. Uog�lnione przemieszczenia i siBy wzBowe dla elementu skoDczonego ramy mog by
przedstawione w ukBadzie lokalnym i globalnym (rys. 6).
e
y y
e
e
u5 e
e
u5 u6 u4 x
u6
e
Q4
e
Q4
2
e
2 u4
e
y
e
e
e e
e Q6 Q5
u3 u1e �e � Q6 Q5 u2 u3
e
�
e
u2
e
Q1
e
e
Q1 1 e
he
u1
e
Q3 e
Q2
e
Q2
Q3
x x
0 0
a) b)
Rys. 6. Element skoDczony ramy: a) w ukBadzie lokalnym; b) w ukBadzie globalnym
W ukBadzie lokalnym element skoDczony dla ramy jest opisany r�wnaniem:
e e e
�# �# u = F (32)
{ } { }
�#K �#
W r�wnaniu tym macierze kolumnowe uog�lnionych przemieszczeD i siB wzBowych s r�w-
ne:
e
u1 �# �#�# �# �# �#
6qe he Q1
�# �# u1eR
�#u e �#�# �# �#Qe �#
�#� �#
Z
6qe he
1
22
�# �#�# �# �# �#
�# �#
eZ 2 e
�#
1 -qe he �# �#Q3 �#
�# �# �#u3 �#�#
ee
u = a" + (33)
{ }�#�1 �# �# { }12 �# �# �# �#
�# �# �# �#, F = �# �# �# �#
eR
6qe he e
44
�#u2 �# �#u �# �# �# �#Q �#
Z e
�#�2 �# �#u5e �# �#-6qe he �# �#Q5 �#
�# �# �# �# �# �# �# �#
eZ 2
qe he e
�#�2 �#�# �#
�#u6 �#�# �# �#Q6 �#
�# �#
�# �# �# �#
Macierz sztywno[ci elementu skoDczonego w ukBadzie lokalnym ma posta:
c 0 0 -c 0 0
�# �#
�#
0 6 -3he 0 -6 -3he �#
�# �#
22
2EeIe �# 0 -3he 2he 0 3he he �#
e
[K ] = , (34)
�#
3
he �# 0 0 c 0 0
�#-c �#
�# -6 3he 0 6 3he
�#
0
�# �#
22
0
�# -3he he 0 3he 2he �#
�#
�#
gdzie:
2
Ahe
e
c =
2Ie
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�11�
R�wnanie macierzowe dla elementu skoDczonego ramy w ukBadzie globalnym ma posta:
e e
�# �# ue = F (35)
{ } { }
�#K �#
e
�# �#
Macierz sztywno[ci elementu skoDczonego ramy w powy|szej zale|no[ci ma posta:
�#K �#
T
e e e e
�# �# �# �# �# �# �# �# , (36)
=
�#K �# �#H �# �#K �# �#H �#
e
�# �#
gdzie macierz transformacji w postaci:
�#H �#
cos� sin� 0 0 0 0
�#�#
�#
�#-sin� cos� 0 0 0 0�#
�#
�# 0 0 1 0 0 0�#
e
�# �# = (37)
�#
�#H �#
0 0 0 cos� sin� 0�#
�#�#
�#�#
0 0 0 -sin� cos� 0
�#�#
0 0 0 0 0 1�#
�#�#
�#
Szczeg�Bowy opis metody element�w skoDczonych dla belki i ramy mo|na znalez w pra-
cy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu zagadnieD (odpowiednio BELKA i RAMA2D)
znajduj si na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.3 Przygotowanie zadania do rozwizania metod element�w skoDczonych
W celu rozwizania konkretnego zadania brzegowego nale|y utworzy model numeryczny
rozpatrywanego ukBadu. W rzeczywistym ukBadzie mechanicznym wyodrbnia si cz[ci
skBadowe, kt�re modeluje si jako prty (belki) lub elementy pBaskie dwuwymiarowe (pByto-
we, tarczowe, powBokowe). Niekt�re fragmenty konstrukcji mog by modelowane elementa-
mi przestrzennymi (tr�jwymiarowymi). W niniejszych rozwizaniach ograniczono si do ele-
ment�w jednowymiarowych - prtowych i belkowych.
Prty (belki) modelowane s jako dwa wzBy poBczone za sob odcinkiem. WzBy repre-
zentuj pocztek i koniec elementu prtowego, odcinek - dane geometryczne i wBasno[ci ma-
teriaBowe. W wzBach mo|na przykBada siBy skupione, momenty skupione lub przemieszcze-
nia (liniowe lub ktowe). Wielko[ci te mog by r�wnie| wyznaczane w wzBach.
PodziaB na wzBy i elementy musi uwzgldnia rzeczywiste wBasno[ci ukBadu. SiBy skupio-
ne i momenty skupione mog by przykBadane tylko wzBach. W przypadku zastosowania ele-
ment�w prtowych poBczenia w wzBach nie przenosz moment�w. W przypadku stosowa-
nia element�w belkowych poBczenia w wzBach przenosz siBy podBu|ne, siBy poprzeczne
oraz momenty gnce, a dla ukBad�w przestrzennych r�wnie| momenty skrcajce. Elementy
prtowe stosowane s do modelowania kratownic, za[ elementy belkowe do modelowania
ram.
Podczas tworzenia modelu numerycznego nale|y przestrzega nastpujcych zasad:
1. Elementy mog Bczy si tylko w wzBach.
2. SiBy skupione i momenty skupione mog by zadawane tylko w wzBach.
3. Podpory mog by umieszczane tylko w wzBach.
4. Obci|enia cigBe nale|y zada zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zas-
tpi obci|eniami skupionymi.
5. Momenty cigBe rozBo|one nale|y zada zgodnie z wytycznymi programu komputerowe-
go lub zastpi momentami skupionymi.
6. Podparcie cigBe nale|y zastpi podporami w wzBach.
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�12�
7. OdlegBo[ci pomidzy wzBami (dBugo[ci element�w) powinny by w miar r�wnomierne.
8. R�|nica pomidzy numerami wzB�w w elemencie powinna by jak najmniejsza (pasmo
minimalne).
9. UkBad musi mie tak narzucone wizy (punkty podparcia), aby nie tworzyB mechanizmu.
4. PRZEBIEG�WICZENIA�
Dla wybranych ukBad�w prtowych lub belkowych przeprowadzi obliczenia (wyznacze-
nie przemieszczeD, napr|eD i reakcji podporowych) przy u|yciu programu metody elemen-
t�w skoDczonych wskazanego przez prowadzcego.
4.1 PrzykBadowe zadania
Zadanie 1
Dla prta stopniowanego podpartego i obci|onego jak na rys. 7 wyznaczy przemiesz-
czenia punkt�w B, C oraz rozkBad napr|eD. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|eD.
PrzykBadowe dane:
A1 = 0.01 m2; A2 = 0.005 m2; A3 = 0.008 m2;
l1 = l2 = l3 = 0.5 m;
P1 = 5 kN; P2 = 2 kN;
E = 2�1011 Pa (stal).
A1 A2 A3
P1 P2
A B C D
l1 l2 l3
Rys. 7. Prt rozcigany schemat statyczny
Zadanie 2
Dla kratownicy pBaskiej podpartej i obci|onej jak na rys. 8 wyznaczy przemieszczenia
punkt�w B, D oraz napr|enia w prtach. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|eD.
PrzykBadowe dane:
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 0.01 m2;
l1 = l3 = 1.0 m;
l2 = l4 = 0.5 m;
P1 = 4 kN; P2 = 1 kN
E = 2�1011 Pa (stal).
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�13�
P2
P1 B
4
D
1
3 5
A
2
B
l2
l3 l4
Rys. 8. Kratownica schemat statyczny
Zadanie 3
Dla belki podpartej i obci|onej jak na rys. 9 wyznaczy poBo|enie osi ugitej oraz rozkBad
napr|eD w przekroju poprzecznym wzdBu| osi belki. Wyznaczy analitycznie przemiesz-
czenia koDca swobodnego belki dla wskazanego wariantu obci|enia i por�wna z wynikami
otrzymanymi numerycznie. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|enia.
PrzykBadowe dane:
l1 = l2 = 0.5 m;
I1 = I2 = 8.33�10-6 m4;
W1 = W2 = 1.66�10-4 m3;
P1 = 7 kN; P2= 3 kN;
M1 = 4 kNm; M2= 2 kNm.
E = 2�1011 Pa (stal).
M1 M2
P2
P1
A B C
l1 l2
Rys. 9. Belka wspornikowa schemat statyczny
Zadanie 4
Dla ramy podpartej i obci|onej jak na rys. 10 wyznaczy poBo|enie osi ugitej oraz roz-
kBad napr|eD. Wyznaczy analitycznie przemieszczenia koDca swobodnego D ramy dla
wskazanego wariantu obci|enia i por�wna z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obli-
czeD przyj r�|ne warianty obci|enia.
PrzykBadowe dane:
l1 = l2 = 1.0 m; l3 = 0.5 m
I1 = I2 = I3 = 42.19�10-6 m4;
W1 = W2 = W3 = 5.63�10-4 m3;
1
l
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�14�
P1 = 8 kN; P2= 4 kN;
M1 = 5 kNm; M2= 3 kNm.
E = 2�1011 Pa (stal).
M1
P2
P1
C
B
l2
M2
D
A
Rys. 10. Belka statycznie niewyznaczalna schemat statyczny
5. OPRACOWANIE�WYNIK�W�I�WYTYCZNE�DO�SPRAWOZDANIA�
Sprawozdanie powinno zawiera:
I. Cel wiczenia
II. Kr�tkie om�wienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie
III. Opis rozwizywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami)
IV. Wyniki obliczeD w formie wydruk�w sporzdzonych na drukarce. Wyniki powinny
zawiera:
1. Rysunki ugi dla r�|nych wariant�w obci|enia
2. Wykresy napr|eD dla wykonanych wariant�w
V. Analiz wynik�w
VI. Wnioski
6. PRZYKAADOWE�PYTANIA�KONTROLNE�
1. Do czego sBu|y metoda element�w skoDczonych?
2. Jakie s istotne cechy metody element�w skoDczonych?
3. Co to jest macierz sztywno[ci i w jakim wzorze wystpuje?
4. Co to s funkcje ksztaBtu?
5. Co to s elementy skoDczone, jakie rodzaje element�w modeluj dany przypadek wytrzy-
maBo[ciowy?
6. Jakich zasad nale|y przestrzega w przypadku rozwizywania zagadnienia metod ele-
ment�w skoDczonych?
3
l
1
l
�ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�15�
7. LITERATURA�
1. Beluch W., BurczyDski T., FedeliDski P., John A., Kokot G., Ku[ W.: Laboratorium
z wytrzymaBo[ci materiaB�w. Wyd. Politechniki Zlskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.
2. Bk R., BurczyDski T.: WytrzymaBo[ materiaB�w z elementami ujcia komputerowego,
WNT, Warszawa 2001.
3. Jaworski A.: Metoda element�w skoDczonych w wytrzymaBo[ci konstrukcji, Wyd. Poli-
techniki Warszawskiej, Warszawa 1981.
4. Kruszewski J.: Metoda element�w skoDczonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warsza-
wa 1981.
5. Pietrzak J., Rakowski G., Wrze[niowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, War-
szawa-PoznaD 1979.
6. Szmelter J.: Metoda element�w skoDczonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
7. Szmelter J.: Metoda element�w skoDczonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa
1979.
8. Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
9. Zienkiewicz O.C.: Metoda element�w skoDczonych, Arkady, Warszawa 1972.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WM lab MES pretyWM lab3 MES pretyWM lab MESLab 8 Kratownica MESLab cpplab 2T2 Skrypt do lab OU Rozdział 6 Wiercenie 3IE RS lab 9 overviewlab pkm 3lab chemia korozjalab tsp 3Wykład14 [MES]Lab09 mo mes osymetrycznywięcej podobnych podstron