plik


�� Instytut Mechaniki i In|ynierii Obliczeniowej WydziaB Mechaniczny Technologiczny Politechnika Zlska www.imio.polsl.pl LABORATORIUM� WYTRZYMAAOZCI�MATERIAA�W� Zastosowanie� metody�element�w�skoDczonych� do�rozwizywania�ukBad�w�prtowych� �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�2� 1. CEL�WICZENIA� f& Zapoznanie si z metod element�w skoDczonych w aspekcie zastosowania do rozwizy- wania ukBad�w prtowych. f& Zapoznanie si z pakietem metody element�w skoDczonych (PROZC, KRATA, BELKA, RAMA2D, PRO-MES, ABC, PATRAN lub podobne) i jego obsBug w przypadku zagad- nieD prtowych. f& Wyznaczenie rozkBadu przemieszczeD i napr|eD w ramach i kratownicach statycznie wy- znaczalnych i niewyznaczalnych. 2. WPROWADZENIE� Metoda element�w skoDczonych (MES) jest jedn z najcz[ciej stosowanych metod kom- puterowych (numerycznych) sBu|cych do rozwizywania tzw. zagadnieD brzegowych me- chaniki. Istota metody sprowadza si do zastpienia modelu cigBego ukBadu mechanicznego modelem dyskretnym. Model dyskretny przyjmuje w rezultacie posta ukBadu r�wnaD alge- braicznych. W niniejszym rozdziale przedstawiono zastosowanie MES do rozwizywania ukBad�w prtowych, w tym prt�w rozciganych ([ciskanych), belek, kratownic i ram. Podstawy teoretyczne metody element�w skoDczonych dla ukBad�w prtowych przedsta- wiono w literaturze zamieszczonej na koDcu rozdziaBu. W niniejszym rozdziale przedstawiono metod element�w skoDczonych wykorzystujc koncepcj caBki wa|onej oraz tzw. sformuBo- wanie sBabe, kt�re szczeg�Bowo przedstawiono w [2]. Inne, alternatywne sformuBowanie, r�w- nowa|ne niniejszemu, mo|na wyprowadzi z warunku minimalizacji energii potencjalnej. 3. PODSTAWY�TEORETYCZNE� 3.1 Metoda element�w skoDczonych dla prt�w rozciganych ([ciskanych) i kratownic Rozwa|any jest prt prosty o zmiennym przekroju A(x) i dBugo[ci L, wykonany z materiaBu o module Younga E, obci|ony obci|eniem cigBym q(x) rozBo|onym wzdBu| dBugo[ci prta i siB Q0 na koDcu (rys. 1a, b). Pole przemieszczeD osiowych speBnia nastpujce r�wnanie r�|niczkowe d du(x) �#�# a(x) + q(x) = 0 dla 0 <� x <� L , (1) �#�# dx dx �#�# kt�re nale|y uzupeBni warunkami brzegowymi w postaci: du �# �# u(0) = u0, �#a �# = Q0 , (2) �# �# dx x= L gdzie: a = a(x)=A(x)E  sztywno[ na rozciganie. Aby rozwiza r�wnanie (1), tzn. znalez pole przemieszczeD u(x) przy warunkach brze- gowych (2), dzieli si obszar prta �(x) na N odcink�w o dBugo[ci he , e = 1,2,...,N, kt�re nazywa si elementami skoDczonymi (rys. 1c). Rozwa|my typowy element skoDczony �e = (xA, xB) = (xe, xe+1), kt�rego koDce maj wsp�B- rzdne x = xA i x = xB (rys. 2a). �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�3� Oznaczmy przemieszczenia wzBowe uie i siBy normalne Qie , i = 1,2, zdefiniowane na rys. 2b. Poszukiwane pole przemieszczeD na elemencie �e aproksymowa bdziemy za pomoc n e e pewnego wielomianu potgowego u(x) H" U = N (x) , gdzie ue s nieznanymi warto[- "uj j j j=1 e ciami wzBowymi przemieszczeD, natomiast N (x) s funkcjami interpolacyjnymi zwanymi j tak|e funkcjami ksztaBtu. W�wczas r�wnanie r�|niczkowe (1) speBnione jest na elemencie �e tylko w spos�b przy- bli|ony. W celu obliczenia nieznanych warto[ci przemieszczeD wzBowych ue |damy, aby j e r�wnanie r�|niczkowe (1) speBnione byBo przez przybli|enie U w sensie tzw. caBki wa|onej, kt�ra okre[lona jest nastpujco: xB d du �# w(x) a + q�# dx = 0 , (3) +" �#dx dx �# �#�# xA gdzie w(x)  tzw. funkcja wa|ona. a) du �# �# Q0 = a �# �# dx �# �# x=L x L b) q(x) u = u0 a" 0 du a a" Q0 dx x q(x) c) h1 h2 he hN 2 e e+1 N+1 ... ... 1 2 e N Numer elementu Numer wzBa Rys. 1. a) Prt rozcigany; b) idealizacja matematyczna; c) dyskretyzacja elementami skoDczonymi �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�4� CaBkujc r�wnanie (3) przez cz[ci otrzymuje si: xB dw du �# 0 = a - wq�#dx - w(xA)QA - w(xB)QB , (4) �#�# +" dx dx �#�# xA gdzie: du du �#a �# �# �# -QA = , - QB = a (5) �# �# �# �# dx dx �# �# �# �# xA xB s siBami normalnymi w wzBach elementu. R�wnanie (4) nazywa si sformuBowaniem sBabym zagadnienia brzegowego opisanego r�wnaniem r�|niczkowym (1) z warunkami brzegowymi (2). Termin  sformuBowanie sBabe pochodzi od tego, |e w r�wnaniu (4)  sBabsze s wymagania dotyczce r�|niczkowalno[ci pola przemieszczeD u(x). xB a) xA he x = x - xA A B x x x = 0 x = he b) e e u(xA) = u1 u(xB ) = u2 du du �# �# �# �# e e Q1 =- a Q2 = a �# �# �# �# 1 2 dx dx �# �# �# �# x=xA x=xB Rys. 2. a) Typowy element skoDczony; b) definicja przemieszczeD i siB wzBowych W r�wnaniu r�|niczkowym (1) u(x) musi by funkcj dwukrotnie r�|niczkowaln, nato- miast w sformuBowaniu sBabym (4) wymaganie r�|niczkowalno[ci obni|one jest o jeden rzd e i funkcja U , aproksymujca pole przemieszczeD u(x) na elemencie skoDczonym �e, mo|e by funkcj liniow i przyjmuje posta: 2 ee e e ee U (x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2 = (x)ue , (6) "N j j j=1 gdzie funkcje ksztaBtu (funkcje interpolacyjne) wyra|aj si wzorami: xB - x x - xA e e N1 (x) = , N2 (x) = (7) xB - xA xB - xA W metodzie element�w skoDczonych podstawowe r�wnania metody wyprowadzi mo|na korzystajc ze sformuBowania sBabego (4) przyjmujc, |e pole przemieszczeD aproksymowane jest przybli|eniem (6), a funkcja wagowa wyra|ona jest przez funkcj ksztaBtu, tzn. ee w(x) = N1 (x) i w(x) = N2 (x) . Otrzymuje si w�wczas dwa r�wnania, kt�re w postaci macie- rzowej przyjmuj posta: �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�5� e e �# �# ue = f + Qe ; (8) { } { } { } �#K �# gdzie: e e �# �# �# �# =  kwadratowa macierz sztywno[ci elementu zdefiniowana nastpujco: �#K �# �#Kij �# xe+1 �# dN dN dNie e �# he �# dNie e �# e jj Kij = ae ae dx (9) �#�#dx = �#�# +"+" 0 dx dx dx dx xe �#�# �#�# e f = fie  macierz kolumnowa siB okre[lona zale|no[ci: { } { } xe+1 he fie = qeNiedx = qeNiedx (10) +"+" xe 0 oraz: 2 e (xie)Qe = Qie , (11) "N j j j=1 przy czym he = xB - xA = xe+1 - xe jest dBugo[ci e-tego elementu skoDczonego. e e �# �# Macierze i f dla liniowych funkcji ksztaBtu (7) maj posta: { } �#K �# 1 �# e �# �#ae �# -1 = �# �#K �#he �# 1, (12) �#-1 �# �# �# e { }qehe 1 (13) f = �#1�# 2 �# �# Macierz sztywno[ci elementu (12) jest macierz symetryczn. W r�wnaniach (9), (10), (12) i (13) przyjto, |e ae i qe przyjmuj staBe warto[ci na �e. W przypadku kratownicy (ukBadu prtowego wykonanego z prt�w poBczonych przegu- bowo i przenoszcych tylko rozciganie bdz [ciskanie) przemieszczenia wzBowe i siBy w- zBowe wygodnie jest przedstawi w ka|dym wzle za pomoc dw�ch skBadowych w ukBadzie lokalnym (rys. 3a) jak i globalnym (rys. 3b). e y e u4 u3 x y u4 e e Q3 2 e u3 e 2 Q3 e e Q4 Q4 e y e u2 u2 u1e �e � � e e Q1 u1 he 1 e 1 Q2 e e Q2 Q1 x x 0 0 a) b) Rys. 3. Element skoDczony kratownicy: a) w ukBadzie lokalnym; b) w ukBadzie globalnym Zale|no[ midzy przemieszczeniami wzBowymi i siBami wzBowymi w ukBadzie lokal- nym (rys. 3a) ma posta: e e �# �# u = Qe (14) { } { } �#K �# �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�6� e �# �# Macierz sztywno[ci elementu kratownicy w ukBadzie lokalnym jest wyra|ona nast- �#K �# pujco: 1 0 -1 0 �# �# e �# �# �# �#EeAe �# 0 0 0�# , (15) = �#K �# he �# sym. 1 0�# �# 0�# �# �# gdzie: EeAe  sztywno[ na rozciganie ([ciskanie) e-tego elementu kratownicy; he  dBugo[ e-tego elementu kratownicy. W ukBadzie globalnym (rys. 3b) macierzowe r�wnanie dla e-tego elementu ma posta: e �# �# ue = Qe , (16) { } { } �#K �# gdzie macierz sztywno[ci elementu: T e e e e �# �# �# �# �# �# �# �# (17) = �#K �# �#T �# �#K �# �#T �# e �# �# Macierz transformacji ma posta: �#T �# cos� sin� 0 0 �#�# �#�# e �# �#�#-sin� cos� 0 0 �# (18) = �#T �#�# 0 0 cos� sin� �# �#�# 0 0 -sin� cos� �#�# Szczeg�Bowy opis metody element�w skoDczonych dla prta rozciganego ([ciskanego) i pBaskiej kratownicy mo|na znalez w pracy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu za- gadnieD (odpowiednio PROZC i KRATA) znajduj si na stronach internetowych: http://dydaktyka.polsl.pl/mes. 3.2 Metoda element�w skoDczonych dla prt�w zginanych i ram Rozwa|any jest prt prosty (belka) o zmiennej sztywno[ci b(x)=EI(x) (E  moduB Younga, I  moment bezwBadno[ci) i dBugo[ci L, obci|ony obci|eniem cigBym o intensywno[ci q(x) oraz siB F0 i momentem M0 na koDcu (rys. 4a). Pole przemieszczeD poprzecznych (ugi) v = v(x) speBnia r�wnanie r�|niczkowe: 22 �#�# dd v(x) = q(x) dla 0<�x<�L (19) dx2 �#b(x) dx2 �# �#�# �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�7� R�wnanie (19) nale|y uzupeBni warunkami brzegowym: dv �# v(0) = v0, � = = �0 �# x=0 dx �# (20) �# 23 �# d v d v -b = M0, - b = F0 �# dx2 x=L dx3 x=L �# Midzy momentami gncymi M, siBami poprzecznymi T i obci|eniami cigBymi q(x) za- chodz nastpujce relacje (rys. 11.4b): 2 d v dM dT M = -b , T = , = -q (21) dx2 dx dx a) q(x) F0 M0 x y b) M M+dM x dx T T+dT Rys. 4. a) Belka zginana; b) siBy wewntrzne w belce Aby rozwiza r�wnanie (19), tzn. znalez pole ugi v(x) przy warunkach brzegowych (20), dzielimy obszar prta �(0, L) na N element�w skoDczonych (rys. 5a). Rozwa|my typowy element skoDczony �e(xe, xe+1) ze zdefiniowanymi na rys. 5b prze- mieszczeniami uog�lnionymi (v,� ) i siBami uog�lnionymi (T, M ). Dla przyjtych zwrot�w przemieszczeD i siB uog�lnionych wprowadzono nastpujc no- tacj: dv � = - (22) dx oraz 22 �#�# �# �# �# �# d d v d v ee Q1 a" , Q2 a" �#dx dx2 �# �#b �# �#b dx2 �# xe +1 xe �# �# �# �# �#�# (23) 22 �#�# �# �# �# �# d d v d v ee Q3 a" �#dx dx2 �# �#b dx2 �# �#b �#, Q4 a" xe +1 xe �# �# �# �# �#�# gdzie: �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�8� e e Q1 ,Q3  siBy poprzeczne; e e Q2 ,Q4  momenty gnce. a) N N+1 1 2 h1 h2 he hN b) e e �1 = u2 �2 = u4 e e v1 = u1 v2 = u3 e e Q2 Q4 x 2 1 e e dx Q1 Q3 xc x Rys. 5 a) PodziaB belki na elementy skoDczone; b) definicja przemieszczeD i siB uog�lnionych Ugicie v(x) bdzie aproksymowane na elemencie �e za pomoc pewnego wielomianu Ve(x). W�wczas r�wnanie r�|niczkowe (19) speBnione jest na elemencie �e w spos�b przy- bli|ony. {damy, aby r�wnanie (19) speBnione byBo przez Ve w sensie caBki wa|onej: xe +1 2 2 �# �# �# �# d d v 0 = w(x) (24) �#dx dx2 - q�# dx �#b �# +" 2 �# �# xe �# �# gdzie: w(x)  funkcja wa|ona. CaBkujc (24) przez cz[ci otrzymujemy nastpujce sformuBowanie sBabe dla belki: xe +1 2 2 �#�# dw dw d v d w �# �# �# �# ee e e 0 = Q4 (25) �#b dx2 dx2 - wq�#dx - w(xe)Q1 - �# �#Q2 - w(xe+1)Q3 - �# �# +" xe xe+1 dx dx �# �# �# �# �#�# xe Warto zwr�ci uwag, |e rzd r�|niczkowalno[ci funkcji ugicia v(x) zostaB obni|ony z rzdu czwartego do rzdu drugiego. Poniewa| caBkowita liczba warunk�w dotyczcych przemieszczeD uog�lnionych dla elementu belkowego wynosi cztery (po dwa w ka|dym wzle), wic wygodnie jest przyj czteroparametrowy wielomian aproksymujcy dla v(x): 4 e e e e e e e e e e e v(x) H" V (x) = u1 N1 + u2N2 + u3N3 + u4N4 = N , (26) "uj j j=1 �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�9� e gdzie funkcje ksztaBtu N maj posta: j 23 2 �# - xe x �# �# - xe �# x ee N1 = 1- 3�# �# + 2�# �# , N2 = -( - xe �#1- �# x )�# x - xe �# he he he �# �# �# �# �# �# (27) 23 �#�# x - xe �#2 x - xe �# �# - xe x �# �# - xe �# x ee N3 = 3�# �# - 2�# �# , N4 = -( - xe �#�# �# - �# x ) he he �# �# �# �# �# �#�# he �# he �# �# W metodzie element�w skoDczonych podstawowe r�wnania metody wyprowadzamy ze sformuBowania sBabego (25) przyjmujc przybli|enie (26) oraz zakBadajc, |e funkcja wa|ona e e e e w(x) wyra|ona jest przez funkcje ksztaBtu, tzn. w = N1 , w = N2 , w = N3 i w = N4 . Otrzymujemy w�wczas cztery r�wnania, kt�re w postaci macierzowej maj posta : e e e e e �# �# K11 K12 K13 K14 �#u1 �# �#F1e �# �# �# �# �# �# �# e e e e e e �#u �# �#F �# 2 2 �#K21 K22 K23 K24 �# a" , (28) �# �# �# �# e e e e e e �#K31 K32 K33 K34 �# �#u3 �# �#F3 �# �# �# e e e e e K42 K43 K44 �# �#u4 �# �#F4e �# �#K41 �# �# �# �# gdzie: e �# �#  macierz sztywno[ci elementu belkowego, kt�rej elementy okre[lone s nas- �#K �# tpujco: xe+1 2 d N d Nie 2 e e j Kij = dx (29) +" dx2 dx2 xe e F  macierz kolumnowa siB: { } xe+1 Fie = Nieqdx - Qie (30) +" xe e e Wsp�Bczynniki Kij s symetryczne, tzn. Kij = Ke . ji Przy przyjtej aproksymacji ugi v(x) za pomoc (26) macierze sztywno[ci i siB przyjmuj posta: 6 �# -3h -3 -3h �# �#�# 2b e �#-3h 2h2 3h h2 �#, (b = EI = const.) �# �# = �#K �#h3 �# -6 3h 6 3h �# �#�# �#-3h h2 3h 2h2 �# (31) 6 Q1 �# �# �# �# �# �# �#Q �# qh �#-h�# �# �#, e 2 F =+ (q = const.) { }12 6 �# �# �# �# �# �# �#Q3 �# �# �# �#Q4 �# h �# �# �# �# Znajc macierze sztywno[ci i siB dla elementu belkowego mo|na okre[li macierz sztyw- no[ci i siB dla caBej belki uwzgldniajc warunki zgodno[ci uog�lnionych przemieszczeD i wa- runki r�wnowagi dla siB uog�lnionych. �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�10� Rozwa|my pBask ram, kt�r dzielimy na elementy skoDczone �e, e = 1,2,...,N. Element skoDczony dla ramy jest zBo|eniem elementu prtowego o sztywno[ci EeAe i obci|eniu cigBym qR i elementu belkowego o sztywno[ci EeIe i obci|eniu cigBym qZ. W ka|dym wzle mamy po trzy uog�lnione przemieszczenia wzBowe i odpowiadajce im uog�lnione siBy wz- Bowe. Uog�lnione przemieszczenia i siBy wzBowe dla elementu skoDczonego ramy mog by przedstawione w ukBadzie lokalnym i globalnym (rys. 6). e y y e e u5 e e u5 u6 u4 x u6 e Q4 e Q4 2 e 2 u4 e y e e e e e Q6 Q5 u3 u1e �e � Q6 Q5 u2 u3 e � e u2 e Q1 e e Q1 1 e he u1 e Q3 e Q2 e Q2 Q3 x x 0 0 a) b) Rys. 6. Element skoDczony ramy: a) w ukBadzie lokalnym; b) w ukBadzie globalnym W ukBadzie lokalnym element skoDczony dla ramy jest opisany r�wnaniem: e e e �# �# u = F (32) { } { } �#K �# W r�wnaniu tym macierze kolumnowe uog�lnionych przemieszczeD i siB wzBowych s r�w- ne: e u1 �# �#�# �# �# �# 6qe he Q1 �# �# u1eR �#u e �#�# �# �#Qe �# �#� �# Z 6qe he 1 22 �# �#�# �# �# �# �# �# eZ 2 e �# 1 -qe he �# �#Q3 �# �# �# �#u3 �#�# ee u = a" + (33) { }�#�1 �# �# { }12 �# �# �# �# �# �# �# �#, F = �# �# �# �# eR 6qe he e 44 �#u2 �# �#u �# �# �# �#Q �# Z e �#�2 �# �#u5e �# �#-6qe he �# �#Q5 �# �# �# �# �# �# �# �# �# eZ 2 qe he e �#�2 �#�# �# �#u6 �#�# �# �#Q6 �# �# �# �# �# �# �# Macierz sztywno[ci elementu skoDczonego w ukBadzie lokalnym ma posta: c 0 0 -c 0 0 �# �# �# 0 6 -3he 0 -6 -3he �# �# �# 22 2EeIe �# 0 -3he 2he 0 3he he �# e [K ] = , (34) �# 3 he �# 0 0 c 0 0 �#-c �# �# -6 3he 0 6 3he �# 0 �# �# 22 0 �# -3he he 0 3he 2he �# �# �# gdzie: 2 Ahe e c = 2Ie �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�11� R�wnanie macierzowe dla elementu skoDczonego ramy w ukBadzie globalnym ma posta: e e �# �# ue = F (35) { } { } �#K �# e �# �# Macierz sztywno[ci elementu skoDczonego ramy w powy|szej zale|no[ci ma posta: �#K �# T e e e e �# �# �# �# �# �# �# �# , (36) = �#K �# �#H �# �#K �# �#H �# e �# �# gdzie  macierz transformacji w postaci: �#H �# cos� sin� 0 0 0 0 �#�# �# �#-sin� cos� 0 0 0 0�# �# �# 0 0 1 0 0 0�# e �# �# = (37) �# �#H �# 0 0 0 cos� sin� 0�# �#�# �#�# 0 0 0 -sin� cos� 0 �#�# 0 0 0 0 0 1�# �#�# �# Szczeg�Bowy opis metody element�w skoDczonych dla belki i ramy mo|na znalez w pra- cy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu zagadnieD (odpowiednio BELKA i RAMA2D) znajduj si na stronach internetowych: http://dydaktyka.polsl.pl/mes. 3.3 Przygotowanie zadania do rozwizania metod element�w skoDczonych W celu rozwizania konkretnego zadania brzegowego nale|y utworzy model numeryczny rozpatrywanego ukBadu. W rzeczywistym ukBadzie mechanicznym wyodrbnia si cz[ci skBadowe, kt�re modeluje si jako prty (belki) lub elementy pBaskie dwuwymiarowe (pByto- we, tarczowe, powBokowe). Niekt�re fragmenty konstrukcji mog by modelowane elementa- mi przestrzennymi (tr�jwymiarowymi). W niniejszych rozwizaniach ograniczono si do ele- ment�w jednowymiarowych - prtowych i belkowych. Prty (belki) modelowane s jako dwa wzBy poBczone za sob odcinkiem. WzBy repre- zentuj pocztek i koniec elementu prtowego, odcinek - dane geometryczne i wBasno[ci ma- teriaBowe. W wzBach mo|na przykBada siBy skupione, momenty skupione lub przemieszcze- nia (liniowe lub ktowe). Wielko[ci te mog by r�wnie| wyznaczane w wzBach. PodziaB na wzBy i elementy musi uwzgldnia rzeczywiste wBasno[ci ukBadu. SiBy skupio- ne i momenty skupione mog by przykBadane tylko wzBach. W przypadku zastosowania ele- ment�w prtowych poBczenia w wzBach nie przenosz moment�w. W przypadku stosowa- nia element�w belkowych poBczenia w wzBach przenosz siBy podBu|ne, siBy poprzeczne oraz momenty gnce, a dla ukBad�w przestrzennych r�wnie| momenty skrcajce. Elementy prtowe stosowane s do modelowania kratownic, za[ elementy belkowe do modelowania ram. Podczas tworzenia modelu numerycznego nale|y przestrzega nastpujcych zasad: 1. Elementy mog Bczy si tylko w wzBach. 2. SiBy skupione i momenty skupione mog by zadawane tylko w wzBach. 3. Podpory mog by umieszczane tylko w wzBach. 4. Obci|enia cigBe nale|y zada zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zas- tpi obci|eniami skupionymi. 5. Momenty cigBe rozBo|one nale|y zada zgodnie z wytycznymi programu komputerowe- go lub zastpi momentami skupionymi. 6. Podparcie cigBe nale|y zastpi podporami w wzBach. �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�12� 7. OdlegBo[ci pomidzy wzBami (dBugo[ci element�w) powinny by w miar r�wnomierne. 8. R�|nica pomidzy numerami wzB�w w elemencie powinna by jak najmniejsza (pasmo minimalne). 9. UkBad musi mie tak narzucone wizy (punkty podparcia), aby nie tworzyB mechanizmu. 4. PRZEBIEG�WICZENIA� Dla wybranych ukBad�w prtowych lub belkowych przeprowadzi obliczenia (wyznacze- nie przemieszczeD, napr|eD i reakcji podporowych) przy u|yciu programu metody elemen- t�w skoDczonych wskazanego przez prowadzcego. 4.1 PrzykBadowe zadania Zadanie 1 Dla prta stopniowanego podpartego i obci|onego jak na rys. 7 wyznaczy przemiesz- czenia punkt�w B, C oraz rozkBad napr|eD. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|eD. PrzykBadowe dane: A1 = 0.01 m2; A2 = 0.005 m2; A3 = 0.008 m2; l1 = l2 = l3 = 0.5 m; P1 = 5 kN; P2 = 2 kN; E = 2�1011 Pa (stal). A1 A2 A3 P1 P2 A B C D l1 l2 l3 Rys. 7. Prt rozcigany  schemat statyczny Zadanie 2 Dla kratownicy pBaskiej podpartej i obci|onej jak na rys. 8 wyznaczy przemieszczenia punkt�w B, D oraz napr|enia w prtach. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|eD. PrzykBadowe dane: A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 0.01 m2; l1 = l3 = 1.0 m; l2 = l4 = 0.5 m; P1 = 4 kN; P2 = 1 kN E = 2�1011 Pa (stal). �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�13� P2 P1 B 4 D 1 3 5 A 2 B l2 l3 l4 Rys. 8. Kratownica  schemat statyczny Zadanie 3 Dla belki podpartej i obci|onej jak na rys. 9 wyznaczy poBo|enie osi ugitej oraz rozkBad napr|eD w przekroju poprzecznym wzdBu| osi belki. Wyznaczy analitycznie przemiesz- czenia koDca swobodnego belki dla wskazanego wariantu obci|enia i por�wna z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obliczeD przyj r�|ne warianty obci|enia. PrzykBadowe dane: l1 = l2 = 0.5 m; I1 = I2 = 8.33�10-6 m4; W1 = W2 = 1.66�10-4 m3; P1 = 7 kN; P2= 3 kN; M1 = 4 kNm; M2= 2 kNm. E = 2�1011 Pa (stal). M1 M2 P2 P1 A B C l1 l2 Rys. 9. Belka wspornikowa  schemat statyczny Zadanie 4 Dla ramy podpartej i obci|onej jak na rys. 10 wyznaczy poBo|enie osi ugitej oraz roz- kBad napr|eD. Wyznaczy analitycznie przemieszczenia koDca swobodnego D ramy dla wskazanego wariantu obci|enia i por�wna z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obli- czeD przyj r�|ne warianty obci|enia. PrzykBadowe dane: l1 = l2 = 1.0 m; l3 = 0.5 m I1 = I2 = I3 = 42.19�10-6 m4; W1 = W2 = W3 = 5.63�10-4 m3; 1 l �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�14� P1 = 8 kN; P2= 4 kN; M1 = 5 kNm; M2= 3 kNm. E = 2�1011 Pa (stal). M1 P2 P1 C B l2 M2 D A Rys. 10. Belka statycznie niewyznaczalna  schemat statyczny 5. OPRACOWANIE�WYNIK�W�I�WYTYCZNE�DO�SPRAWOZDANIA� Sprawozdanie powinno zawiera: I. Cel wiczenia II. Kr�tkie om�wienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie III. Opis rozwizywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami) IV. Wyniki obliczeD w formie wydruk�w sporzdzonych na drukarce. Wyniki powinny zawiera: 1. Rysunki ugi dla r�|nych wariant�w obci|enia 2. Wykresy napr|eD dla wykonanych wariant�w V. Analiz wynik�w VI. Wnioski 6. PRZYKAADOWE�PYTANIA�KONTROLNE� 1. Do czego sBu|y metoda element�w skoDczonych? 2. Jakie s istotne cechy metody element�w skoDczonych? 3. Co to jest macierz sztywno[ci i w jakim wzorze wystpuje? 4. Co to s funkcje ksztaBtu? 5. Co to s elementy skoDczone, jakie rodzaje element�w modeluj dany przypadek wytrzy- maBo[ciowy? 6. Jakich zasad nale|y przestrzega w przypadku rozwizywania zagadnienia metod ele- ment�w skoDczonych? 3 l 1 l �ZASTOSOWANIE�MES�DO�ROZWIZYWANIA�UKAAD�W�PRTOWYCH�15� 7. LITERATURA� 1. Beluch W., BurczyDski T., FedeliDski P., John A., Kokot G., Ku[ W.: Laboratorium z wytrzymaBo[ci materiaB�w. Wyd. Politechniki Zlskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002. 2. Bk R., BurczyDski T.: WytrzymaBo[ materiaB�w z elementami ujcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001. 3. Jaworski A.: Metoda element�w skoDczonych w wytrzymaBo[ci konstrukcji, Wyd. Poli- techniki Warszawskiej, Warszawa 1981. 4. Kruszewski J.: Metoda element�w skoDczonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warsza- wa 1981. 5. Pietrzak J., Rakowski G., Wrze[niowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, War- szawa-PoznaD 1979. 6. Szmelter J.: Metoda element�w skoDczonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980. 7. Szmelter J.: Metoda element�w skoDczonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa 1979. 8. Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980. 9. Zienkiewicz O.C.: Metoda element�w skoDczonych, Arkady, Warszawa 1972.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WM lab MES prety
WM lab3 MES prety
WM lab MES
Lab 8 Kratownica MES
Lab cpp
lab 2
T2 Skrypt do lab OU Rozdział 6 Wiercenie 3
IE RS lab 9 overview
lab pkm 3
lab chemia korozja
lab tsp 3
Wykład14 [MES]
Lab
09 mo mes osymetryczny

więcej podobnych podstron