ÿþ I n s t y t u t M e c h a n i k i i I n |y n i e r i i O b l i c z e n i o w e j
W y d z i a B M e c h a n i c z n y T e c h n o l o g i c z n y
P o l i t e c h n i k a Zl s k a
w w w . i m i o . p o l s l . p l
L A B O R A T O R I U M
W Y T R Z Y M A AO ZC I M A T E R I A AÓ W
Z a s t o s o w a n i e
m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h
d o r o z w i z y w a n i a u k Ba d ó w p r t o w y c h
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 2
1 . C E L W I C Z E N I A
f& Z a p o z n a n i e s i z m e t o d e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w a s p e k c i e z a s t o s o w a n i a d o r o z w i z y -
w a n i a u k Ba d ó w p r t o w y c h .
f& Z a p o z n a n i e s i z p a k i e t e m m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ( P R O Z C , K R A T A , B E L K A ,
R A M A 2 D , P R O - M E S , A B C , P A T R A N l u b p o d o b n e ) i j e g o o b s Bu g w p r z y p a d k u z a g a d -
n i e D p r t o w y c h .
f& W y z n a c z e n i e r o z k Ba d u p r z e m i e s z c z e D i n a p r |e D w r a m a c h i k r a t o w n i c a c h s t a t y c z n i e w y -
z n a c z a l n y c h i n i e w y z n a c z a l n y c h .
2 . W P R O W A D Z E N I E
M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ( M E S ) j e s t j e d n z n a j c z [c i e j s t o s o w a n y c h m e t o d k o m -
p u t e r o w y c h ( n u m e r y c z n y c h ) s Bu |c y c h d o r o z w i z y w a n i a t z w . z a g a d n i e D b r z e g o w y c h m e -
c h a n i k i . I s t o t a m e t o d y s p r o w a d z a s i d o z a s t p i e n i a m o d e l u c i g Be g o u k Ba d u m e c h a n i c z n e g o
m o d e l e m d y s k r e t n y m . M o d e l d y s k r e t n y p r z y j m u j e w r e z u l t a c i e p o s t a u k Ba d u r ó w n a D a l g e -
b r a i c z n y c h .
W n i n i e j s z y m r o z d z i a l e p r z e d s t a w i o n o z a s t o s o w a n i e M E S d o r o z w i z y w a n i a u k Ba d ó w
p r t o w y c h , w t y m p r t ó w r o z c i g a n y c h ( [c i s k a n y c h ) , b e l e k , k r a t o w n i c i r a m .
P o d s t a w y t e o r e t y c z n e m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h d l a u k Ba d ó w p r t o w y c h p r z e d s t a -
w i o n o w l i t e r a t u r z e z a m i e s z c z o n e j n a k o Dc u r o z d z i a Bu . W n i n i e j s z y m r o z d z i a l e p r z e d s t a w i o n o
m e t o d e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w y k o r z y s t u j c k o n c e p c j c a Bk i w a |o n e j o r a z t z w . s f o r m u Bo -
w a n i e s Ba b e , k t ó r e s z c z e g ó Bo w o p r z e d s t a w i o n o w [ 2 ] . I n n e , a l t e r n a t y w n e s f o r m u Bo w a n i e , r ó w -
n o w a |n e n i n i e j s z e m u , m o |n a w y p r o w a d z i z w a r u n k u m i n i m a l i z a c j i e n e r g i i p o t e n c j a l n e j .
3 . P O D S T A W Y T E O R E T Y C Z N E
3 . 1 M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h d l a p r t ó w r o z c i g a n y c h ( [c i s k a n y c h ) i k r a t o w n i c
R o z w a |a n y j e s t p r t p r o s t y o z m i e n n y m p r z e k r o j u A ( x ) i d Bu g o [c i L , w y k o n a n y z m a t e r i a Bu
o m o d u l e Y o u n g a E , o b c i |o n y o b c i |e n i e m c i g By m q ( x ) r o z Bo |o n y m w z d Bu | d Bu g o [c i p r t a
i s i B Q 0 n a k o Dc u ( r y s . 1 a , b ) .
P o l e p r z e m i e s z c z e D o s i o w y c h s p e Bn i a n a s t p u j c e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e
d d u ( x )
›#ž#
a ( x ) + q ( x ) = 0 d l a 0 < x < L , ( 1 )
œ#Ÿ#
d x d x
# #
k t ó r e n a l e |y u z u p e Bn i w a r u n k a m i b r z e g o w y m i w p o s t a c i :
d u
›# ž#
u ( 0 ) = u 0 , œ#a Ÿ# = Q 0 , ( 2 )
# #
d x
x = L
g d z i e :
a = a ( x ) = A ( x ) E s z t y w n o [ n a r o z c i g a n i e .
A b y r o z w i z a r ó w n a n i e ( 1 ) , t z n . z n a l e z p o l e p r z e m i e s z c z e D u ( x ) p r z y w a r u n k a c h b r z e -
g o w y c h ( 2 ) , d z i e l i s i o b s z a r p r t a ©( x ) n a N o d c i n k ó w o d Bu g o [c i h e , e = 1 , 2 , . . . , N , k t ó r e
n a z y w a s i e l e m e n t a m i s k o Dc z o n y m i ( r y s . 1 c ) .
R o z w a |m y t y p o w y e l e m e n t s k o Dc z o n y ©e = ( x A , x B ) = ( x e , x e + 1 ) , k t ó r e g o k o Dc e m a j w s p ó B-
r z d n e x = x A i x = x B ( r y s . 2 a ) .
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 3
O z n a c z m y p r z e m i e s z c z e n i a w z Bo w e u i e i s i By n o r m a l n e Q i e , i = 1 , 2 , z d e f i n i o w a n e n a r y s .
2 b . P o s z u k i w a n e p o l e p r z e m i e s z c z e D n a e l e m e n c i e ©e a p r o k s y m o w a b d z i e m y z a p o m o c
n
e e
p e w n e g o w i e l o m i a n u p o t g o w e g o u ( x ) H" U = N ( x ) , g d z i e u e s n i e z n a n y m i w a r t o [-
"u j j j
j = 1
e
c i a m i w z Bo w y m i p r z e m i e s z c z e D, n a t o m i a s t N ( x ) s f u n k c j a m i i n t e r p o l a c y j n y m i z w a n y m i
j
t a k |e f u n k c j a m i k s z t a Bt u .
W ó w c z a s r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e ( 1 ) s p e Bn i o n e j e s t n a e l e m e n c i e ©e t y l k o w s p o s ó b p r z y -
b l i |o n y . W c e l u o b l i c z e n i a n i e z n a n y c h w a r t o [c i p r z e m i e s z c z e D w z Bo w y c h u e |d a m y , a b y
j
e
r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e ( 1 ) s p e Bn i o n e b y Bo p r z e z p r z y b l i |e n i e U w s e n s i e t z w . c a Bk i w a |o n e j ,
k t ó r a o k r e [l o n a j e s t n a s t p u j c o :
x B
d d u
¡#
w ( x ) a + q ¤# d x = 0 , ( 3 )
+"
¢#d x d x ¥#
£#¦#
x A
g d z i e w ( x ) t z w . f u n k c j a w a |o n a .
a )
d u
›# ž#
Q 0 = a
œ# Ÿ#
d x
# #
x = L
x
L
b )
q ( x )
u = u 0 a" 0
d u
a a" Q 0
d x
x
q ( x )
c )
h 1 h 2 h e h N
2 e e + 1 N + 1
. . . . . .
1 2 e N
N u m e r e l e m e n t u N u m e r w z Ba
R y s . 1 . a ) P r t r o z c i g a n y ; b ) i d e a l i z a c j a m a t e m a t y c z n a ;
c ) d y s k r e t y z a c j a e l e m e n t a m i s k o Dc z o n y m i
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 4
C a Bk u j c r ó w n a n i e ( 3 ) p r z e z c z [c i o t r z y m u j e s i :
x B
d w d u
›#
0 = a - w q ž#d x - w ( x A ) Q A - w ( x B ) Q B , ( 4 )
œ#Ÿ#
+"
d x d x
# #
x A
g d z i e :
d u d u
›#a ž# ›# ž#
- Q A = , - Q B = a ( 5 )
œ# Ÿ# œ# Ÿ#
d x d x
# # # #
x A x B
s s i Ba m i n o r m a l n y m i w w z Ba c h e l e m e n t u .
R ó w n a n i e ( 4 ) n a z y w a s i s f o r m u Bo w a n i e m s Ba b y m z a g a d n i e n i a b r z e g o w e g o o p i s a n e g o
r ó w n a n i e m r ó |n i c z k o w y m ( 1 ) z w a r u n k a m i b r z e g o w y m i ( 2 ) . T e r m i n s f o r m u Bo w a n i e s Ba b e
p o c h o d z i o d t e g o , |e w r ó w n a n i u ( 4 ) s Ba b s z e s w y m a g a n i a d o t y c z c e r ó |n i c z k o w a l n o [c i
p o l a p r z e m i e s z c z e D u ( x ) .
x B
a )
x A h e
x = x - x A
A B
x
x
x = 0
x = h e
b )
e e
u ( x A ) = u 1 u ( x B ) = u 2
d u d u
›# ž# ›# ž#
e e
Q 1 = - a Q 2 = a
œ# Ÿ# œ# Ÿ#
1 2
d x d x
# # # #
x = x A x = x B
R y s . 2 . a ) T y p o w y e l e m e n t s k o Dc z o n y ; b ) d e f i n i c j a p r z e m i e s z c z e D i s i B w z Bo w y c h
W r ó w n a n i u r ó |n i c z k o w y m ( 1 ) u ( x ) m u s i b y f u n k c j d w u k r o t n i e r ó |n i c z k o w a l n , n a t o -
m i a s t w s f o r m u Bo w a n i u s Ba b y m ( 4 ) w y m a g a n i e r ó |n i c z k o w a l n o [c i o b n i |o n e j e s t o j e d e n r z d
e
i f u n k c j a U , a p r o k s y m u j c a p o l e p r z e m i e s z c z e D u ( x ) n a e l e m e n c i e s k o Dc z o n y m ©e , m o |e
b y f u n k c j l i n i o w i p r z y j m u j e p o s t a :
2
e e e e e e
U ( x ) = N 1 ( x ) u 1 + N 2 ( x ) u 2 = ( x ) u e , ( 6 )
"N j j
j = 1
g d z i e f u n k c j e k s z t a Bt u ( f u n k c j e i n t e r p o l a c y j n e ) w y r a |a j s i w z o r a m i :
x B - x x - x A
e e
N 1 ( x ) = , N 2 ( x ) = ( 7 )
x B - x A x B - x A
W m e t o d z i e e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h p o d s t a w o w e r ó w n a n i a m e t o d y w y p r o w a d z i m o |n a
k o r z y s t a j c z e s f o r m u Bo w a n i a s Ba b e g o ( 4 ) p r z y j m u j c , |e p o l e p r z e m i e s z c z e D a p r o k s y m o w a n e
j e s t p r z y b l i |e n i e m ( 6 ) , a f u n k c j a w a g o w a w y r a |o n a j e s t p r z e z f u n k c j k s z t a Bt u , t z n .
e e
w ( x ) = N 1 ( x ) i w ( x ) = N 2 ( x ) . O t r z y m u j e s i w ó w c z a s d w a r ó w n a n i a , k t ó r e w p o s t a c i m a c i e -
r z o w e j p r z y j m u j p o s t a :
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 5
e e
¡# ¤# u e = f + Q e ; ( 8 )
{ } { } { }
£#K ¦#
g d z i e :
e e
¡# ¤# ¡# ¤#
= k w a d r a t o w a m a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u z d e f i n i o w a n a n a s t p u j c o :
£#K ¦# £#K i j ¦#
x e + 1
›# d N d N
d N i e e ž# h e ›# d N i e e ž#
e j j
K i j = a e a e d x ( 9 )
œ#Ÿ#d x = œ#Ÿ#
+"+"
0
d x d x d x d x
x e # # # #
e
f = f i e m a c i e r z k o l u m n o w a s i B o k r e [l o n a z a l e |n o [c i :
{ } { }
x e + 1 h e
f i e = q e N i e d x = q e N i e d x ( 1 0 )
+"+"
x e 0
o r a z :
2
e
( x i e ) Q e = Q i e , ( 1 1 )
"N j j
j = 1
p r z y c z y m h e = x B - x A = x e + 1 - x e j e s t d Bu g o [c i e - t e g o e l e m e n t u s k o Dc z o n e g o .
e e
¡# ¤#
M a c i e r z e i f d l a l i n i o w y c h f u n k c j i k s z t a Bt u ( 7 ) m a j p o s t a :
{ }
£#K ¦#
1
¤#
e
¡# ¤#a e ¡# - 1
=
¥#
£#K ¦#h e ¢# 1 , ( 1 2 )
£#- 1 ¦#
§# «#
e
{ } q e h e 1 ( 1 3 )
f =
¨#1 ¬#
2
©# #
M a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u ( 1 2 ) j e s t m a c i e r z s y m e t r y c z n . W r ó w n a n i a c h ( 9 ) , ( 1 0 ) ,
( 1 2 ) i ( 1 3 ) p r z y j t o , |e a e i q e p r z y j m u j s t a Be w a r t o [c i n a ©e .
W p r z y p a d k u k r a t o w n i c y ( u k Ba d u p r t o w e g o w y k o n a n e g o z p r t ó w p o Bc z o n y c h p r z e g u -
b o w o i p r z e n o s z c y c h t y l k o r o z c i g a n i e b d z [c i s k a n i e ) p r z e m i e s z c z e n i a w z Bo w e i s i By w -
z Bo w e w y g o d n i e j e s t p r z e d s t a w i w k a |d y m w zl e z a p o m o c d w ó c h s k Ba d o w y c h w u k Ba d z i e
l o k a l n y m ( r y s . 3 a ) j a k i g l o b a l n y m ( r y s . 3 b ) .
e
y
e
u 4
u 3 x y
u 4 e
e
Q 3 2 e
u 3
e
2 Q 3
e
e
Q 4
Q 4 e
y
e
u 2
u 2 u 1 e ©e ± ±
e
e
Q 1
u 1
h e 1
e
1
Q 2
e
e
Q 2
Q 1
x x
0 0
a ) b )
R y s . 3 . E l e m e n t s k o Dc z o n y k r a t o w n i c y :
a ) w u k Ba d z i e l o k a l n y m ; b ) w u k Ba d z i e g l o b a l n y m
Z a l e |n o [ m i d z y p r z e m i e s z c z e n i a m i w z Bo w y m i i s i Ba m i w z Bo w y m i w u k Ba d z i e l o k a l -
n y m ( r y s . 3 a ) m a p o s t a :
e e
¡# ¤# u = Q e ( 1 4 )
{ } { }
£#K ¦#
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 6
e
¡# ¤#
M a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u k r a t o w n i c y w u k Ba d z i e l o k a l n y m j e s t w y r a |o n a n a s t -
£#K ¦#
p u j c o :
1 0 - 1 0
¡# ¤#
e
¢# ¥#
¡# ¤#E e A e ¢# 0 0 0 ¥# , ( 1 5 )
=
£#K ¦#
h e ¢# s y m . 1 0 ¥#
¢#
0 ¥#
£# ¦#
g d z i e :
E e A e s z t y w n o [ n a r o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) e - t e g o e l e m e n t u k r a t o w n i c y ;
h e d Bu g o [ e - t e g o e l e m e n t u k r a t o w n i c y .
W u k Ba d z i e g l o b a l n y m ( r y s . 3 b ) m a c i e r z o w e r ó w n a n i e d l a e - t e g o e l e m e n t u m a p o s t a :
e
¡# ¤# u e = Q e , ( 1 6 )
{ } { }
£#K ¦#
g d z i e m a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u :
T
e e e e
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤# ( 1 7 )
=
£#K ¦# £#T ¦# £#K ¦# £#T ¦#
e
¡# ¤#
M a c i e r z t r a n s f o r m a c j i m a p o s t a :
£#T ¦#
c o s ± s i n ± 0 0
¡#¤#
¢#¥#
e
¡# ¤#¢#- s i n ± c o s ± 0 0 ¥# ( 1 8 )
=
£#T ¦#¢# 0 0 c o s ± s i n ± ¥#
¢#¥#
0 0 - s i n ± c o s ±
£#¦#
S z c z e g ó Bo w y o p i s m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h d l a p r t a r o z c i g a n e g o ( [c i s k a n e g o )
i p Ba s k i e j k r a t o w n i c y m o |n a z n a l e z w p r a c y [ 2 ] . E d u k a c y j n e p r o g r a m y M E S d o o b y d w u z a -
g a d n i e D ( o d p o w i e d n i o P R O Z C i K R A T A ) z n a j d u j s i n a s t r o n a c h i n t e r n e t o w y c h :
h t t p : / / d y d a k t y k a . p o l s l . p l / m e s .
3 . 2 M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h d l a p r t ó w z g i n a n y c h i r a m
R o z w a |a n y j e s t p r t p r o s t y ( b e l k a ) o z m i e n n e j s z t y w n o [c i b ( x ) = E I ( x ) ( E m o d u B Y o u n g a ,
I m o m e n t b e z w Ba d n o [c i ) i d Bu g o [c i L , o b c i |o n y o b c i |e n i e m c i g By m o i n t e n s y w n o [c i q ( x )
o r a z s i B F 0 i m o m e n t e m M 0 n a k o Dc u ( r y s . 4 a ) .
P o l e p r z e m i e s z c z e D p o p r z e c z n y c h ( u g i ) v = v ( x ) s p e Bn i a r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e :
2 2
›#ž#
d d v ( x )
= q ( x ) d l a 0 < x < L ( 1 9 )
d x 2 œ#b ( x ) d x 2 Ÿ#
# #
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 7
R ó w n a n i e ( 1 9 ) n a l e |y u z u p e Bn i w a r u n k a m i b r z e g o w y m :
d v «#
v ( 0 ) = v 0 , Ñ = = Ñ0 ª#
x = 0
d x
ª#
( 2 0 )
¬#
2 3 ª#
d v d v
- b = M 0 , - b = F 0 ª#
d x 2 x = L d x 3 x = L #
M i d z y m o m e n t a m i g n c y m i M , s i Ba m i p o p r z e c z n y m i T i o b c i |e n i a m i c i g By m i q ( x ) z a -
c h o d z n a s t p u j c e r e l a c j e ( r y s . 1 1 . 4 b ) :
2
d v d M d T
M = - b , T = , = - q ( 2 1 )
d x 2 d x d x
a )
q ( x )
F 0
M 0
x
y
b )
M M + d M
x
d x
T T + d T
R y s . 4 . a ) B e l k a z g i n a n a ; b ) s i By w e w n t r z n e w b e l c e
A b y r o z w i z a r ó w n a n i e ( 1 9 ) , t z n . z n a l e z p o l e u g i v ( x ) p r z y w a r u n k a c h b r z e g o w y c h
( 2 0 ) , d z i e l i m y o b s z a r p r t a ©( 0 , L ) n a N e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ( r y s . 5 a ) .
R o z w a |m y t y p o w y e l e m e n t s k o Dc z o n y ©e ( x e , x e + 1 ) z e z d e f i n i o w a n y m i n a r y s . 5 b p r z e -
m i e s z c z e n i a m i u o g ó l n i o n y m i ( v , ˜ ) i s i Ba m i u o g ó l n i o n y m i ( T , M ) .
D l a p r z y j t y c h z w r o t ó w p r z e m i e s z c z e D i s i B u o g ó l n i o n y c h w p r o w a d z o n o n a s t p u j c n o -
t a c j :
d v
Ñ = -
( 2 2 )
d x
o r a z
2 2
¡#¤#
›# ž# ›# ž#
d d v d v
e e
Q 1 a" , Q 2 a"
¢#d x d x 2 ¥#
œ#b Ÿ# œ#b d x 2 Ÿ#
x e + 1 x e
# # # #
£#¦#
( 2 3 )
2 2
¡#¤#
›# ž# ›# ž#
d d v d v
e e
Q 3 a"
¢#d x d x 2 ¥# œ#b d x 2 Ÿ#
œ#b Ÿ#, Q 4 a"
x e + 1 x e
# # # #
£#¦#
g d z i e :
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 8
e e
Q 1 , Q 3 s i By p o p r z e c z n e ;
e e
Q 2 , Q 4 m o m e n t y g n c e .
a )
N N + 1
1 2
h 1 h 2 h e h N
b )
e e
Ñ1 = u 2 Ñ2 = u 4
e e
v 1 = u 1 v 2 = u 3
e e
Q 2 Q 4
x
2
1
e e
d x
Q 1 Q 3
x c
x
R y s . 5 a ) P o d z i a B b e l k i n a e l e m e n t y s k o Dc z o n e ;
b ) d e f i n i c j a p r z e m i e s z c z e D i s i B u o g ó l n i o n y c h
U g i c i e v ( x ) b d z i e a p r o k s y m o w a n e n a e l e m e n c i e ©e z a p o m o c p e w n e g o w i e l o m i a n u
V e ( x ) . W ó w c z a s r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e ( 1 9 ) s p e Bn i o n e j e s t n a e l e m e n c i e ©e w s p o s ó b p r z y -
b l i |o n y . {d a m y , a b y r ó w n a n i e ( 1 9 ) s p e Bn i o n e b y Bo p r z e z V e w s e n s i e c a Bk i w a |o n e j :
x e + 1
2 2
¡# ¤#
›# ž#
d d v
0 = w ( x ) ( 2 4 )
¢#d x d x 2 - q ¥# d x
œ#b Ÿ#
+" 2
# #
x e £# ¦#
g d z i e : w ( x ) f u n k c j a w a |o n a .
C a Bk u j c ( 2 4 ) p r z e z c z [c i o t r z y m u j e m y n a s t p u j c e s f o r m u Bo w a n i e s Ba b e d l a b e l k i :
x e + 1
2 2
›#ž# d w d w
d v d w
›# ž# ›# ž#
e e e e
0 = Q 4 ( 2 5 )
œ#b d x 2 d x 2 - w q Ÿ#d x - w ( x e ) Q 1 - œ# Ÿ#Q 2 - w ( x e + 1 ) Q 3 - œ# Ÿ#
+"
x e x e + 1
d x d x
# # # #
# #
x e
W a r t o z w r ó c i u w a g , |e r z d r ó |n i c z k o w a l n o [c i f u n k c j i u g i c i a v ( x ) z o s t a B o b n i |o n y
z r z d u c z w a r t e g o d o r z d u d r u g i e g o . P o n i e w a | c a Bk o w i t a l i c z b a w a r u n k ó w d o t y c z c y c h
p r z e m i e s z c z e D u o g ó l n i o n y c h d l a e l e m e n t u b e l k o w e g o w y n o s i c z t e r y ( p o d w a w k a |d y m
w zl e ) , w i c w y g o d n i e j e s t p r z y j c z t e r o p a r a m e t r o w y w i e l o m i a n a p r o k s y m u j c y d l a v ( x ) :
4
e e e e e e e e e e e
v ( x ) H" V ( x ) = u 1 N 1 + u 2 N 2 + u 3 N 3 + u 4 N 4 = N , ( 2 6 )
"u j j
j = 1
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 9
e
g d z i e f u n k c j e k s z t a Bt u N m a j p o s t a :
j
2 3 2
›# - x e x
ž# ›# - x e
ž#
x
e e
N 1 = 1 - 3 œ# Ÿ# + 2 œ# Ÿ# , N 2 = - ( - x e œ#1 - Ÿ#
x
) ›# x - x e ž#
h e h e h e #
# # # # #
( 2 7 )
2 3
¡#›# x - x e ž#2 x - x e ¤#
›# - x e x
ž# ›# - x e
ž#
x
e e
N 3 = 3 œ# Ÿ# - 2 œ# Ÿ# , N 4 = - ( - x e ¢#œ# Ÿ# - ¥#
x
)
h e h e
# # # # ¢#
£## h e # h e ¥#
¦#
W m e t o d z i e e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h p o d s t a w o w e r ó w n a n i a m e t o d y w y p r o w a d z a m y z e
s f o r m u Bo w a n i a s Ba b e g o ( 2 5 ) p r z y j m u j c p r z y b l i |e n i e ( 2 6 ) o r a z z a k Ba d a j c , |e f u n k c j a w a |o n a
e e e e
w ( x ) w y r a |o n a j e s t p r z e z f u n k c j e k s z t a Bt u , t z n . w = N 1 , w = N 2 , w = N 3 i w = N 4 .
O t r z y m u j e m y w ó w c z a s c z t e r y r ó w n a n i a , k t ó r e w p o s t a c i m a c i e r z o w e j m a j p o s t a :
e
e e e e
¡# ¤#
K 1 1 K 1 2 K 1 3 K 1 4 §#u 1 «# §#F 1 e «#
ª# ª# ª# ª#
¢# ¥#
e e
e e e e
ª#u ª# ª#F ª#
2 2
¢#K 2 1 K 2 2 K 2 3 K 2 4 ¥#
a" , ( 2 8 )
¨# ¬# ¨# ¬#
e e e e
e e
¢#K 3 1 K 3 2 K 3 3 K 3 4 ¥#
ª#u 3 ª# ª#F 3 ª#
¢# ¥#
e e e e
e
K 4 2 K 4 3 K 4 4 ¦# ª#u 4 ª# ª#F 4 e ª#
£#K 4 1
©# # ©# #
g d z i e :
e
¡# ¤# m a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u b e l k o w e g o , k t ó r e j e l e m e n t y o k r e [l o n e s n a s -
£#K ¦#
t p u j c o :
x e + 1 2
d N
d N i e 2 e
e j
K i j = d x ( 2 9 )
+"
d x 2 d x 2
x e
e
F m a c i e r z k o l u m n o w a s i B:
{ }
x e + 1
F i e = N i e q d x - Q i e ( 3 0 )
+"
x e
e e
W s p ó Bc z y n n i k i K i j s s y m e t r y c z n e , t z n . K i j = K e .
j i
P r z y p r z y j t e j a p r o k s y m a c j i u g i v ( x ) z a p o m o c ( 2 6 ) m a c i e r z e s z t y w n o [c i i s i B p r z y j m u j
p o s t a :
6
¡# - 3 h - 3 - 3 h
¤#
¢#¥#
2 b
e
¢#- 3 h 2 h 2 3 h h 2 ¥#, ( b = E I = c o n s t . )
¡# ¤# =
£#K ¦#h 3 ¢# - 6 3 h 6 3 h ¥#
¢#¥#
£#- 3 h h 2 3 h 2 h 2 ¦#
( 3 1 )
6 Q 1
§# «# §# «#
ª# ª# ª#Q ª#
q h
ª#- h ª# ª# ª#,
e 2
F = + ( q = c o n s t . )
{ } 1 2 6
¨# ¬# ¨# ¬#
ª# ª# ª#Q 3 ª#
ª# ª# ª#Q 4 ª#
h
©# # ©# #
Z n a j c m a c i e r z e s z t y w n o [c i i s i B d l a e l e m e n t u b e l k o w e g o m o |n a o k r e [l i m a c i e r z s z t y w -
n o [c i i s i B d l a c a Be j b e l k i u w z g l d n i a j c w a r u n k i z g o d n o [c i u o g ó l n i o n y c h p r z e m i e s z c z e D i w a -
r u n k i r ó w n o w a g i d l a s i B u o g ó l n i o n y c h .
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 0
R o z w a |m y p Ba s k r a m , k t ó r d z i e l i m y n a e l e m e n t y s k o Dc z o n e ©e , e = 1 , 2 , . . . , N . E l e m e n t
s k o Dc z o n y d l a r a m y j e s t z Bo |e n i e m e l e m e n t u p r t o w e g o o s z t y w n o [c i E e A e i o b c i |e n i u
c i g By m q R i e l e m e n t u b e l k o w e g o o s z t y w n o [c i E e I e i o b c i |e n i u c i g By m q Z . W k a |d y m w zl e
m a m y p o t r z y u o g ó l n i o n e p r z e m i e s z c z e n i a w z Bo w e i o d p o w i a d a j c e i m u o g ó l n i o n e s i By w z -
Bo w e . U o g ó l n i o n e p r z e m i e s z c z e n i a i s i By w z Bo w e d l a e l e m e n t u s k o Dc z o n e g o r a m y m o g b y
p r z e d s t a w i o n e w u k Ba d z i e l o k a l n y m i g l o b a l n y m ( r y s . 6 ) .
e
y y
e
e
u 5 e
e
u 5 u 6 u 4 x
u 6
e
Q 4
e
Q 4
2
e
2 u 4
e
y
e
e
e e
e Q 6 Q 5
u 3 u 1 e ©e ± Q 6 Q 5 u 2 u 3
e
±
e
u 2
e
Q 1
e
e
Q 1 1 e
h e
u 1
e
Q 3 e
Q 2
e
Q 2
Q 3
x x
0 0
a ) b )
R y s . 6 . E l e m e n t s k o Dc z o n y r a m y : a ) w u k Ba d z i e l o k a l n y m ; b ) w u k Ba d z i e g l o b a l n y m
W u k Ba d z i e l o k a l n y m e l e m e n t s k o Dc z o n y d l a r a m y j e s t o p i s a n y r ó w n a n i e m :
e e e
¡# ¤# u = F ( 3 2 )
{ } { }
£#K ¦#
W r ó w n a n i u t y m m a c i e r z e k o l u m n o w e u o g ó l n i o n y c h p r z e m i e s z c z e D i s i B w z Bo w y c h s r ó w -
n e :
e
u 1 §# «#§# «# §# «#
6 q e h e Q 1
§# «# u 1 e R
ª#u e ª#ª# ª# ª#Q e ª#
ª#Å ª#
Z
6 q e h e
1
2 2
ª# ª#ª# ª# ª# ª#
ª# ª#
e Z 2 e
ª#
1 - q e h e ª# ª#Q 3 ª#
ª# ª# ª#u 3 ª#ª#
e e
u = a" + ( 3 3 )
{ } ª#Ñ1 ª# ª# { } 1 2 ª# ª# ª# ª#
¨# ¬# ¨# ¬#, F = ¨# ¬# ¨# ¬#
e R
6 q e h e e
4 4
ª#u 2 ª# ª#u ª# ª# ª# ª#Q ª#
Z e
ª#Å2 ª# ª#u 5 e ª# ª#- 6 q e h e ª# ª#Q 5 ª#
ª# ª# ª# ª# ª# ª# ª# ª#
e Z 2
q e h e e
ª#Ñ2 ª#©# #
ª#u 6 ª#ª# ª# ª#Q 6 ª#
©# #
©# # ©# #
M a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u s k o Dc z o n e g o w u k Ba d z i e l o k a l n y m m a p o s t a :
c 0 0 - c 0 0
¡# ¤#
¢#
0 6 - 3 h e 0 - 6 - 3 h e ¥#
¢# ¥#
2 2
2 E e I e ¢# 0 - 3 h e 2 h e 0 3 h e h e ¥#
e
[ K ] = , ( 3 4 )
¥#
3
h e ¢# 0 0 c 0 0
¢#- c ¥#
¢# - 6 3 h e 0 6 3 h e
¥#
0
¢# ¥#
2 2
0
¢# - 3 h e h e 0 3 h e 2 h e ¦#
¥#
£#
g d z i e :
2
A h e
e
c =
2 I e
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 1
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e d l a e l e m e n t u s k o Dc z o n e g o r a m y w u k Ba d z i e g l o b a l n y m m a p o s t a :
e e
¡# ¤# u e = F ( 3 5 )
{ } { }
£#K ¦#
e
¡# ¤#
M a c i e r z s z t y w n o [c i e l e m e n t u s k o Dc z o n e g o r a m y w p o w y |s z e j z a l e |n o [c i m a p o s t a :
£#K ¦#
T
e e e e
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤# , ( 3 6 )
=
£#K ¦# £#H ¦# £#K ¦# £#H ¦#
e
¡# ¤#
g d z i e m a c i e r z t r a n s f o r m a c j i w p o s t a c i :
£#H ¦#
c o s ± s i n ± 0 0 0 0
¡#¤#
¢#
¢#- s i n ± c o s ± 0 0 0 0 ¥#
¥#
¢# 0 0 1 0 0 0 ¥#
e
¡# ¤# = ( 3 7 )
¢#
£#H ¦#
0 0 0 c o s ± s i n ± 0 ¥#
¢#¥#
¢#¥#
0 0 0 - s i n ± c o s ± 0
¢#¥#
0 0 0 0 0 1 ¦#
¢#¥#
£#
S z c z e g ó Bo w y o p i s m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h d l a b e l k i i r a m y m o |n a z n a l e z w p r a -
c y [ 2 ] . E d u k a c y j n e p r o g r a m y M E S d o o b y d w u z a g a d n i e D ( o d p o w i e d n i o B E L K A i R A M A 2 D )
z n a j d u j s i n a s t r o n a c h i n t e r n e t o w y c h :
h t t p : / / d y d a k t y k a . p o l s l . p l / m e s .
3 . 3 P r z y g o t o w a n i e z a d a n i a d o r o z w i z a n i a m e t o d e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h
W c e l u r o z w i z a n i a k o n k r e t n e g o z a d a n i a b r z e g o w e g o n a l e |y u t w o r z y m o d e l n u m e r y c z n y
r o z p a t r y w a n e g o u k Ba d u . W r z e c z y w i s t y m u k Ba d z i e m e c h a n i c z n y m w y o d r b n i a s i c z [c i
s k Ba d o w e , k t ó r e m o d e l u j e s i j a k o p r t y ( b e l k i ) l u b e l e m e n t y p Ba s k i e d w u w y m i a r o w e ( p By t o -
w e , t a r c z o w e , p o w Bo k o w e ) . N i e k t ó r e f r a g m e n t y k o n s t r u k c j i m o g b y m o d e l o w a n e e l e m e n t a -
m i p r z e s t r z e n n y m i ( t r ó j w y m i a r o w y m i ) . W n i n i e j s z y c h r o z w i z a n i a c h o g r a n i c z o n o s i d o e l e -
m e n t ó w j e d n o w y m i a r o w y c h - p r t o w y c h i b e l k o w y c h .
P r t y ( b e l k i ) m o d e l o w a n e s j a k o d w a w z By p o Bc z o n e z a s o b o d c i n k i e m . W z By r e p r e -
z e n t u j p o c z t e k i k o n i e c e l e m e n t u p r t o w e g o , o d c i n e k - d a n e g e o m e t r y c z n e i w Ba s n o [c i m a -
t e r i a Bo w e . W w z Ba c h m o |n a p r z y k Ba d a s i By s k u p i o n e , m o m e n t y s k u p i o n e l u b p r z e m i e s z c z e -
n i a ( l i n i o w e l u b k t o w e ) . W i e l k o [c i t e m o g b y r ó w n i e | w y z n a c z a n e w w z Ba c h .
P o d z i a B n a w z By i e l e m e n t y m u s i u w z g l d n i a r z e c z y w i s t e w Ba s n o [c i u k Ba d u . S i By s k u p i o -
n e i m o m e n t y s k u p i o n e m o g b y p r z y k Ba d a n e t y l k o w z Ba c h . W p r z y p a d k u z a s t o s o w a n i a e l e -
m e n t ó w p r t o w y c h p o Bc z e n i a w w z Ba c h n i e p r z e n o s z m o m e n t ó w . W p r z y p a d k u s t o s o w a -
n i a e l e m e n t ó w b e l k o w y c h p o Bc z e n i a w w z Ba c h p r z e n o s z s i By p o d Bu |n e , s i By p o p r z e c z n e
o r a z m o m e n t y g n c e , a d l a u k Ba d ó w p r z e s t r z e n n y c h r ó w n i e | m o m e n t y s k r c a j c e . E l e m e n t y
p r t o w e s t o s o w a n e s d o m o d e l o w a n i a k r a t o w n i c , z a [ e l e m e n t y b e l k o w e d o m o d e l o w a n i a
r a m .
P o d c z a s t w o r z e n i a m o d e l u n u m e r y c z n e g o n a l e |y p r z e s t r z e g a n a s t p u j c y c h z a s a d :
1 . E l e m e n t y m o g Bc z y s i t y l k o w w z Ba c h .
2 . S i By s k u p i o n e i m o m e n t y s k u p i o n e m o g b y z a d a w a n e t y l k o w w z Ba c h .
3 . P o d p o r y m o g b y u m i e s z c z a n e t y l k o w w z Ba c h .
4 . O b c i |e n i a c i g Be n a l e |y z a d a z g o d n i e z w y t y c z n y m i p r o g r a m u k o m p u t e r o w e g o l u b z a s -
t p i o b c i |e n i a m i s k u p i o n y m i .
5 . M o m e n t y c i g Be r o z Bo |o n e n a l e |y z a d a z g o d n i e z w y t y c z n y m i p r o g r a m u k o m p u t e r o w e -
g o l u b z a s t p i m o m e n t a m i s k u p i o n y m i .
6 . P o d p a r c i e c i g Be n a l e |y z a s t p i p o d p o r a m i w w z Ba c h .
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 2
7 . O d l e g Bo [c i p o m i d z y w z Ba m i ( d Bu g o [c i e l e m e n t ó w ) p o w i n n y b y w m i a r r ó w n o m i e r n e .
8 . R ó |n i c a p o m i d z y n u m e r a m i w z Bó w w e l e m e n c i e p o w i n n a b y j a k n a j m n i e j s z a ( p a s m o
m i n i m a l n e ) .
9 . U k Ba d m u s i m i e t a k n a r z u c o n e w i z y ( p u n k t y p o d p a r c i a ) , a b y n i e t w o r z y B m e c h a n i z m u .
4 . P R Z E B I E G W I C Z E N I A
D l a w y b r a n y c h u k Ba d ó w p r t o w y c h l u b b e l k o w y c h p r z e p r o w a d z i o b l i c z e n i a ( w y z n a c z e -
n i e p r z e m i e s z c z e D, n a p r |e D i r e a k c j i p o d p o r o w y c h ) p r z y u |y c i u p r o g r a m u m e t o d y e l e m e n -
t ó w s k o Dc z o n y c h w s k a z a n e g o p r z e z p r o w a d z c e g o .
4 . 1 P r z y k Ba d o w e z a d a n i a
Z a d a n i e 1
D l a p r t a s t o p n i o w a n e g o p o d p a r t e g o i o b c i |o n e g o j a k n a r y s . 7 w y z n a c z y p r z e m i e s z -
c z e n i a p u n k t ó w B , C o r a z r o z k Ba d n a p r |e D. D o o b l i c z e D p r z y j r ó |n e w a r i a n t y o b c i |e D.
P r z y k Ba d o w e d a n e :
A 1 = 0 . 0 1 m 2 ; A 2 = 0 . 0 0 5 m 2 ; A 3 = 0 . 0 0 8 m 2 ;
l 1 = l 2 = l 3 = 0 . 5 m ;
P 1 = 5 k N ; P 2 = 2 k N ;
E = 2 · 1 0 1 1 P a ( s t a l ) .
A 1 A 2 A 3
P 1 P 2
A B C D
l 1 l 2 l 3
R y s . 7 . P r t r o z c i g a n y s c h e m a t s t a t y c z n y
Z a d a n i e 2
D l a k r a t o w n i c y p Ba s k i e j p o d p a r t e j i o b c i |o n e j j a k n a r y s . 8 w y z n a c z y p r z e m i e s z c z e n i a
p u n k t ó w B , D o r a z n a p r |e n i a w p r t a c h . D o o b l i c z e D p r z y j r ó |n e w a r i a n t y o b c i |e D.
P r z y k Ba d o w e d a n e :
A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = 0 . 0 1 m 2 ;
l 1 = l 3 = 1 . 0 m ;
l 2 = l 4 = 0 . 5 m ;
P 1 = 4 k N ; P 2 = 1 k N
E = 2 · 1 0 1 1 P a ( s t a l ) .
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 3
P 2
P 1 B
4
D
1
3 5
A
2
B
l 2
l 3 l 4
R y s . 8 . K r a t o w n i c a s c h e m a t s t a t y c z n y
Z a d a n i e 3
D l a b e l k i p o d p a r t e j i o b c i |o n e j j a k n a r y s . 9 w y z n a c z y p o Bo |e n i e o s i u g i t e j o r a z r o z k Ba d
n a p r |e D w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m w z d Bu | o s i b e l k i . W y z n a c z y a n a l i t y c z n i e p r z e m i e s z -
c z e n i a k o Dc a s w o b o d n e g o b e l k i d l a w s k a z a n e g o w a r i a n t u o b c i |e n i a i p o r ó w n a z w y n i k a m i
o t r z y m a n y m i n u m e r y c z n i e . D o o b l i c z e D p r z y j r ó |n e w a r i a n t y o b c i |e n i a .
P r z y k Ba d o w e d a n e :
l 1 = l 2 = 0 . 5 m ;
I 1 = I 2 = 8 . 3 3 · 1 0 - 6 m 4 ;
W 1 = W 2 = 1 . 6 6 · 1 0 - 4 m 3 ;
P 1 = 7 k N ; P 2 = 3 k N ;
M 1 = 4 k N m ; M 2 = 2 k N m .
E = 2 · 1 0 1 1 P a ( s t a l ) .
M 1 M 2
P 2
P 1
A B C
l 1 l 2
R y s . 9 . B e l k a w s p o r n i k o w a s c h e m a t s t a t y c z n y
Z a d a n i e 4
D l a r a m y p o d p a r t e j i o b c i |o n e j j a k n a r y s . 1 0 w y z n a c z y p o Bo |e n i e o s i u g i t e j o r a z r o z -
k Ba d n a p r |e D. W y z n a c z y a n a l i t y c z n i e p r z e m i e s z c z e n i a k o Dc a s w o b o d n e g o D r a m y d l a
w s k a z a n e g o w a r i a n t u o b c i |e n i a i p o r ó w n a z w y n i k a m i o t r z y m a n y m i n u m e r y c z n i e . D o o b l i -
c z e D p r z y j r ó |n e w a r i a n t y o b c i |e n i a .
P r z y k Ba d o w e d a n e :
l 1 = l 2 = 1 . 0 m ; l 3 = 0 . 5 m
I 1 = I 2 = I 3 = 4 2 . 1 9 · 1 0 - 6 m 4 ;
W 1 = W 2 = W 3 = 5 . 6 3 · 1 0 - 4 m 3 ;
1
l
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 4
P 1 = 8 k N ; P 2 = 4 k N ;
M 1 = 5 k N m ; M 2 = 3 k N m .
E = 2 · 1 0 1 1 P a ( s t a l ) .
M 1
P 2
P 1
C
B
l 2
M 2
D
A
R y s . 1 0 . B e l k a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a s c h e m a t s t a t y c z n y
5 . O P R A C O W A N I E W Y N I K Ó W I W Y T Y C Z N E D O S P R A W O Z D A N I A
S p r a w o z d a n i e p o w i n n o z a w i e r a :
I . C e l w i c z e n i a
I I . K r ó t k i e o m ó w i e n i e p o d s t a w M E S - u i z a s a d m o d e l o w a n i a w M E S - i e
I I I . O p i s r o z w i z y w a n e g o z a g a d n i e n i a i m o d e l u n u m e r y c z n e g o ( z r y s u n k a m i )
I V . W y n i k i o b l i c z e D w f o r m i e w y d r u k ó w s p o r z d z o n y c h n a d r u k a r c e . W y n i k i p o w i n n y
z a w i e r a :
1 . R y s u n k i u g i d l a r ó |n y c h w a r i a n t ó w o b c i |e n i a
2 . W y k r e s y n a p r |e D d l a w y k o n a n y c h w a r i a n t ó w
V . A n a l i z w y n i k ó w
V I . W n i o s k i
6 . P R Z Y K AA D O W E P Y T A N I A K O N T R O L N E
1 . D o c z e g o s Bu |y m e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ?
2 . J a k i e s i s t o t n e c e c h y m e t o d y e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ?
3 . C o t o j e s t m a c i e r z s z t y w n o [c i i w j a k i m w z o r z e w y s t p u j e ?
4 . C o t o s f u n k c j e k s z t a Bt u ?
5 . C o t o s e l e m e n t y s k o Dc z o n e , j a k i e r o d z a j e e l e m e n t ó w m o d e l u j d a n y p r z y p a d e k w y t r z y -
m a Bo [c i o w y ?
6 . J a k i c h z a s a d n a l e |y p r z e s t r z e g a w p r z y p a d k u r o z w i z y w a n i a z a g a d n i e n i a m e t o d e l e -
m e n t ó w s k o Dc z o n y c h ?
3
l
1
l
Z A S T O S O W A N I E M E S D O R O Z W I Z Y W A N I A U K AA D Ó W P R T O W Y C H 1 5
7 . L I T E R A T U R A
1 . B e l u c h W . , B u r c z y Ds k i T . , F e d e l i Ds k i P . , J o h n A . , K o k o t G . , K u [ W . : L a b o r a t o r i u m
z w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w . W y d . P o l i t e c h n i k i Zl s k i e j , S k r y p t n r 2 2 8 5 , G l i w i c e , 2 0 0 2 .
2 . B k R . , B u r c z y Ds k i T . : W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w z e l e m e n t a m i u j c i a k o m p u t e r o w e g o ,
W N T , W a r s z a w a 2 0 0 1 .
3 . J a w o r s k i A . : M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y t r z y m a Bo [c i k o n s t r u k c j i , W y d . P o l i -
t e c h n i k i W a r s z a w s k i e j , W a r s z a w a 1 9 8 1 .
4 . K r u s z e w s k i J . : M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w d y n a m i c e k o n s t r u k c j i , P W N , W a r s z a -
w a 1 9 8 1 .
5 . P i e t r z a k J . , R a k o w s k i G . , W r z e [n i o w s k i K . : M a c i e r z o w a a n a l i z a k o n s t r u k c j i , P W N , W a r -
s z a w a - P o z n a D 1 9 7 9 .
6 . S z m e l t e r J . : M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w m e c h a n i c e , P W N , W a r s z a w a 1 9 8 0 .
7 . S z m e l t e r J . : M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w s t a t y c e k o n s t r u k c j i , A r k a d y , W a r s z a w a
1 9 7 9 .
8 . S z m e l t e r J . : M e t o d y k o m p u t e r o w e w m e c h a n i c e , P W N , W a r s z a w a 1 9 8 0 .
9 . Z i e n k i e w i c z O . C . : M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h , A r k a d y , W a r s z a w a 1 9 7 2 .
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