10558

Szybki algorytm wyznaczania transformaty Wignera-Ville’a

Oczywiście ze względu na podobieństwo do DFT szybki algorytm musi wykorzystywać FFT.

Analizowane sygnały o skończonej długości będziemy uzyskiwać poprzez wymnożenie danego sygnału z funkcją okna, które będzie symetryczne względem początku układu współrzędnych. EM ugość tak otrzymanego sygnału będzie nieparzysta ze względu na symetryczne granice sumowania:

+(<V/2-l)

X(m,co) = 2    h(m + n)x(m + ri)h*(m — n)x*(m — n)e ^j2o3n

n=-(N/2-l)

Jak widać sumujemy N-l elementów i aby móc użyć FFT w obliczaniu powyższego wyrażenia musimy je tak zmodyfikować aby:

1.    sumowanie zaczynało się od 0

2.    obejmowało 2*¹ elementów

Zauważmy, że sygnał s_m(n) =s_m(—n) =x(m+n)x“(m — ni) jest symetiyczny (wokół punktu m) ze względu na n.

Dyskretyzując częstotliwość: co = — k możemy zapisać:

-M N/2-1)

X(m,k)= 2    £

n=~< N/2-1)

0    _/?—fcn    iV/2—l    _/?—kn

= 2 JJs_m(n)0]e ^N +2 J^s_m(n)e ^N

n=-< N/2-1)    n=0

ponieważ:

-i 2±pkn.

J2-k(N/2-l)

J-—-kN/2 -)

-)2—klN/2+t)    -J—kN/2 -J—kl -J—kl

"    —_e a 12    ₀ a 12 —0 NI 2

— e

*    ¹    |»-jV/2+/=<?    "

więc możemy zapisać

N-l    -J2—kn ^Nl²~^l    —J2—

X(m,k) =    s_m(n)]e ^N + £ ^s„(n)e ^N

n=O

n=N/2+l

uzyskując wzór finalny:

12—kn

X(rn,k)='£_tls"_m(n)Os^lm(n)]e ‘ « "

n=0

.//

N-l

gdzie: s _m(n) = S_m(n), dla n=0...N/2-1 (jest to druga „połowa” sygnału - wraz z zerową próbką) S⁷m(n) = S (n), dla n=-(N/2-1(jest to pierwsza „połowa” sygnału - bez zerowej próbki)

Algorytm numerycznego wyznaczania transformaty Wignera-Ville'a

1.    Utwórz sygnał x_ra(n) poprzez wymnożenie sygnał x(n) przez okno h(n) - czyli wytnij z sygnału x(n)

fragment o długości 2L-1, gdzie L=2\

2.    Utwórz sygnał s_m(n) jako iloczyn s_m(n) =x_m(n)x„(—n),

3.    Utwórz nowy sygnał:y(n) = [s»(n=0... N/2-1), 0, s_m(n=-(N/2-l)...-l)] o długości L=2^k,

4.    Wyznacz widmo sygnału y(n),

5.    Wróć do punktu 1.