22900

4. DEFINICJA

Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę |x| e R określoną następująco:

x, gdy x> 0, - x, gdy x0.

5. DEFINICJA

Znakiem liczby rzeczywistej x e R nazywamy liczbę sgn(x) € R określoną wzorem:

1, gdy x> 0, sgn(x) = ■ -1, gdy x< 0,

0, gdy X: 0.

6.    TWIERDZENIE (własności wartości bezwzględnej) (dowód)

a)    V_X€r |x| > 0.

b)    V_x.,_€r |xy| = |x||y|,

liii

c)    v*„r_a„.W 'y'.

d)    V_x,_ysR|x+y| £ |x| + |y|,

e)    V_x,j«r ||x| - |y|| 5 |x -y|.

7.    DEFINICJA

a)    Zbiór AcR nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista a taka, że dla każdego elementu xeA zachodzi nierówność

a < x.

b)    Zbiór AcR nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista b taka, że dla każdego elementu x e A zachodzi nierówność

x<b.

c)    Zbiór AcR nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że dla każdego elementu xeA zachodzi nierówność