24423

Def. 2

Element neutralny działania + nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy: Ó

Przykład 2

X * 0 F(X,R ) = {f: f: X->R} -- zb. odwzorowań (F(X, R), R, +, •)

Definiujemy działania:

+ : F(X,R) x F(X, R ) -> F(X,R) f,ge F(X,R)

f + g = h:oVxeX: (f+g)(x) = f(x)+g(x) = h(x)

a ■ f = g :<=> VxeX (a • f)(x) = a • f(x)

W tym przypadku wektorami są odwzorowania.

F(X,R ) 3 Ó: VxeXÓ(x) = 0 (Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)

Łatwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura (F(X, R), R , +, •) jest przestrzenią wektorową.

Def. 3

Z: (X, K, +, •) - przestrzeń wektorowa U * 0, U c X

Strukturę (U, K, +, •) nazywamy pod przestrzenią wektorową przestrzeni X

:<=>

1)    Vx,ye U:(x+y)eU

2)    Vae K Vxe U :(a-x) e U

Przykład 3

(R³, R, +, •) - przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1) a). U : = {(x, y, z)e R³: x + y + z = 0}

Sprawdzamy, czy (U, R, +, •) jest pod przestrzenią przestrzeni R³.

U * 0 ponieważ np. (1, 0, 1) e U U 3 x = (xi, yi, zi) => Xi + yi + Zi = 0 u 3 y = (x_2/ y_2/ Z₂) => x₂ + y₂ + z₂ = 0

Pytamy, czy x + yeU (pierwszy warunek podprzestrzeni) x+y= (xi + x_2/ yi + y₂, Zi + z₂)

xi + x₂ + yi + y₂ + zi +z₂ = (xi + yi + Zi) + (x₂ + y₂ + z₂) = 0 + 0

Teraz pytamy, czy a-xe U (drugi warunek podprzestrzeni)

a-x= a (x, y, z) = (ax, ay, az)

ax + ay + az = a(x + y +z) = a-0 = 0

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa