24429

Wtedy, jeśli e oznacza element neutralny, mamy:

floa' = fl'oa = e aoa" = o"ofl = e

Korzystając z powyższych równości i z łączności działania, otrzymujemy: a'=o'oe = a'o(ao a") = (a' oa)oa" = £o a" = a".

Co oznacza, że element odwrotny jest dokładnie jeden.■

Element odwrotny do a oznaczamy przez a”¹.

Twierdzenie 2 Jeśli (G, o) jest grupą to:

(i)    Va e G {a-^l)~^l=a,

(ii)    Va,b € G (a o 6)^_1 = 6^-1 o a^-1.

Dowód

(i)    Ponieważ a o a^-1 = a^_l o o = e to element a jest odwrotny do a^-1 i ponieważ element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie to (u^-1)^-1 = a.

(ii)    Wystarczy sprawdzić, że element 6^-1 on^-1 jest odwrotny do aobM

Zadanie Wyznaczyć elementy odwrotne do elementów grupy (53.0).

Twierdzenie 3 Jeśli (G.o) jest grupą to:

(i)    nox = box=>a = b.

(ii)    xoa = xob=>a = b.

Dowód

(i)    Jeśli a o x = b o x to mnożąc to równanie obustronnie z prawej strony przez x^_1 otrzymujemy:

(ooi)oi"¹ = (601)0 x^_1 a o (x o x^-1) = 60 (xox^-1) a oe = boe a = b

(ii)    Analogicznie jak poprzedni punkt.l

Twierdzenie 4 Jeśli (G, o) jest grupą i a,b € G to równanie a ox = b ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze G.

2