25858

20 stycznia 2003. 9:19am Metody numeryczne II. 2003 2003

•    u(0) = uo,

•    It(u) 1 Vq^] w L²(0,1] tzn., że    fj R(u)(t) t»(t) dt = 0.

Oczywiście, jeżeli u = u(t) jest rozwiązaniem (1.1) to na podstawie (1.3) zachodzi

i

J (u'(t) - Au(<)) v(t) dt = 0 dla v € vj^fl)

0 =0

tak więc jest ono też aproksymacją Galerkina równania.

Warunek ortogonalności ft(u) i. w L²(0, lj jest równoważny ortogonalno-ści R{u) do każdego elementu bazy przestrzeni Vo » tzn.

R{u) J_ <=> R(u)±{t,t².....f*}.

Podstawiając u = u(t) w postaci (1.2) do warunku fj R(u)(t)t‘dt = 0, gdzie i = 1,2,... q. otrzymujemy

[ [u'(t)-\u(t)\tⁱdt = Jo

i-i

i

f dt =

f    f I',U = 0.

i-1 o    0

Wyliczając całki, otrzymujemy:

i

y(J.___*_V = —

\j + »' j + i+l)^V « + 1

uo, i = 1,2,. ..,g

układ liniowy q x q równań na współczynniki £^T = (^1.^2- • • • - £q)

A£ = b

gdzie A = [a,j] i 6^r = (61,62,----b_q) są wyrażone wzorami

j A 6= —

^,J j + i j + i+l* ' i + 1

W |1. ss. 112| wspomniaiK), że le|iszą bazą w przestrzeni yw są wielomany Legend re'a:

i-1,2,...,,    (1.4)

W podręcznikach wielomiany Legcndre’a rozważa się też na przedziale (—1,1). I tak w |6. zad. 19 na s. 112| oraz (4, Ex. 9.22 na s. 205) są one wykorzystane do kwadratur Gaussa (numerycznego całkowania). W |3, Ex. 2 na s. 429|

3

l.ElSko-01