32143

c) f : R_s[.r] - R₂M, f{w){x) = (* - 1) ■ w"(ar) - xw(x) dx ■ w'(x)

3.    Zbadaj, czy istnieje odwzorowanie liniowe zadane warunkami (jeśli tak wylicz wzór):

a)    f:<R³ -» R³, /‘(3.1.1) = (4,3,3), f(4.1,4) = (5,9,1),/(5,1,3) = (6,7,3)

b)    f :IR³ - R². /(1,1,2) = (3,1),/(l,3,3) = (1.5),/-(2,5,6) = (1,-1)

c)    ^RjM -» R₂M, f(2x - 1) = x² + 2,f(x³ -x) = 2x + 3,f(3x² - 2x) = x² + 2x,

f(2x³ - 3x²) = x + 2

4.    Wylicz Kerf oraz Imf i ich wymiary:

a)    f : R³ -* R², f(x^l,x² ,x³) = (5*¹ - 4x² + 3x³,9x¹ - 7x² + 4x³)

b)    /:R³ -» R⁴, f{x¹,x²,x³) = (4x³-x² - 5x³,2x¹ + 3*² - it³^*¹ + 5*² - 7x³,

-2x³ + 4x² + 4x³),

c) /:R₃M -R². f{w)00 = (I-, w(x)dx, w"(l) — w'(~1))

5.    Zbadaj, czy są izomorfizmami:

a) /: R³ -> R³, f(x¹,x² ,x³) = (X¹ + 4x² - x³,-3x² + x² - 5*³,*¹ - 9x² + 7x³),

r*,M- m    .

c) f: M(2) -»IR⁴, f(A) — (flu — <*22* 2a₁₂ — Qzv 2flu — 2fl₁₂ ^— #21 ^— 2a₂2/

—Q|1 “ł" 2fli2 — 4₂i 4" 2fl₂2)

6.    Napisz macierz f w podanych bazach:

a)    /:R³ -* R³,/(x^ł,**,jc³) = (2*¹ - x² - 3x³,x² + 2x² - x³,-x¹ + 4x² - 2x³),

61 = ((—2,1,3), (1,2,0)(—1,3,2)), B₂ - ((3,1,1), (-4,2,2), (1,-3,1)),

b)    f: R³ - R²,/[x¹,x²,x³)=(x¹+2x²-x³,-2x¹-x²+3x³), B,=(( 1,-2,1),(2,0,1),(1,-1,2)); B₂=((-2,3),(-l,2)),

c)    /:R² -» R³, f(x¹,x²)=(-3x’+2x²,x’-2x²,x¹+4x²), B,=((3,-l),(2,-l)) B,=(( 0,-l,l),(l,0,l),(l,-l,0))

7.    Napisz macierz f w podanych bazach:    p p p nr ,-i

a)    f:M(2) -»R,./(A)=(a₁₁-a₂₁,a₂₂+a₁₂), B,=(| ‘l.l U ~M.r I), B₂=((-2,3),(2,l)),

b)/:M(2)

*-(E -M L²!

R³. /C4) = [-2 l]-/ł-

!)■[-,' 3

| ³ 1 -²1, l-l 1    1 J

■[2    li)’®² = ((2-1.3), (1--2,1), (3,-1,2)),

c) /:R₂[x] -»R₃M, /(w)(x) = x²w'(x)-2w(l)x³, B_t = (2*² -x.3x - 1,3 -4x²),

B₂ = (x³ -2x² + x-3.-2x³ +3x- 2,x² -x + 4,x³ + x² + 2x + 1)

8.    a) wylicz macierz przejścia P(_B,B') jeżeli B = ((2,1,3), (1,1, —2), (3,2, —1)),

B' = ((3,2,0), (1.4,-2), (4.1,-2)),

b)    wyznacz współrzędne wektora x_B, w bazie B' = ((1, —2,1), (2, —1,4), (3, —3,1)) jeżeli

x_b=(2,1,-3) w bazie B = ((3,1, -1), (2,1, -2), (1,2, -3)),

-2 1 2

c) macierz przejścia P(B, B') =

oraz bazy

1    3 -1

-1 1 1

B = ((-3,2,2), (1,2,-3), (-2,3,-1)),

B" = ((2,2,4), (—1,1,3), (3,1, —2)), wylicz macierz przejścia P(B', B"~)