104368

ONTOLOGIA

Geometrie nieeuklidesowe

W poszukiwaniu nowego aksjomatu można wybrać jeden z dwóch kierunków:

-    Przez dowolny punkt na płaszczyźnie, nie należący do danej prostej, przechodzi nieskończona ilość prostych równoległych do danej (Lobaczewski).

-    Przez dowolny punkt na płaszczyźnie, nie należący do danej prostej, nie przechodzi ani jedna prosta równoległa do danej (Riemann).

Geometrię Lobaczewskiego nazywa się technicznie geometrią hiperboliczną. Istnieje w niej nieskończona liczba równoległych. W geometrii Riemanna, geometrii eliptycznej, proste równolegle nie istnieją. Taki system geometryczny można sobie wyobrazić, podając przykład sfery - dwa .południki" są prostopadle do .równika" - powinny być więc w stosunku do siebie równolegle. A jednak przecinają się na .biegunach".

Dalej, w geometrii euklidesowej suma kątów w trójkącie równa jest 180 stopni. W geometrii Lobaczewskiego suma kątów w trójkącie wynosi mniej, a w geometrii Riemanna - więcej od 180 stopni. W geometrii eliptycznej odchylenie od 180 stopni łatwo zrozumieć na przykładzie sfery. Dwa kąty leżące przy podstawie (.równiku) trójkąta, którego wierzchołkami są: miejsca przecięcie .południków" z .równikiem" oraz biegun, mają po 90 stopni. Suma wszystkich kątów musi więc przekroczyć 180 stopni.

Pytanie o to, czy przestrzeń jest Euklidesowa, postawił w XIX wieku Gauss. Jednakże jego współczesnym każda próba empirycznego badania twierdzeń geometrycznych wydawała się niedorzeczna. Sądzili za Kantem, że ludzka intuicja nie popełnia geometrycznych pomyłek.

Należy uważać, by nie przekroczyć granicy analogii pomiędzy płaszczyzną Riemannowską a powierzchnią sfery. Dwie dowolne proste na płaszczyźnie Riemanna posiadają tylko jeden punkt wspólny, podczas, gdy odpowiadające im proste na sferze posiadają dwa takie punkty. Model sfetyczny odpowiada płaszczyźnie Riemannowskiej tylko wtedy, gdy ograniczamy się do części powierzchni sfery, która nie zawiera punktów naprzeciwległych (jak bieguny). Jeżeli naszym modelem jest sfera, to trzeba założyć, że każdy punkt przestrzeni Riemannowskiej jest reprezentowany na powierzchni sfery przez parę naprzeciwległych punktów.

Z pomocą modelu sferycznego widzimy, że w przestrzeni Riemannowskiej stosunek obwodu koła do jego średnicy jest zawsze mniejszy niż rt. W przestrzeni Lobaczewskiego jest wprost odwrotnie.

Wszystkie powierzchnie, tak euklidesowe, jak i nieeuklidesowe, mają w każdym ze swoich punktów pewną miarę, zwaną .miarą krzywizny". Geometria Lobaczewskiego charakteryzuje się tym, że w dowolnym punkcie dowolnej płaszczyzny miara krzywizny przestrzeni jest ujemna i stała. Istnieje nieskończona liczba różnych geometrii Lobaczewskiego. Każdą cechuje ustalony parametr - liczna ujemna - który jest miarą krzywizny przestrzeni w tej geometrii. Dla każdej przestrzeni Riemannowskiej istnieje pewna wartość dodatnia, która jest miarą krzywizny w dowolnym punkcie dowolnej płaszczyzny w tej przestrzeni. Poprzez dobór różnych wartości promienia krzywizny k (dla przestrzeni Riemannowskiej, k>0, dla przestrzeni Lobaczewskiego, k<0, dla przestrzeni euklidesowej, k=0) otrzymuje się różne przestrzenie.