104409

Równanie kp

Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:

1.    przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają - rdzenie atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: A/?, = 0)

2.    przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym potencjale znajduje się tylko jeden elektron:

(r) = £ y/(r)

-^V² ₊ V_kr⁽F)

i//(r) = e^ik7 u_k(r)

Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha: ^lk

(r) = E(k )e'^{k r}uAr)

ti

Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:

Ve^ii?u = ike‘^i?u + e^ruVu

V²(e'*^) =    + e‘^ifVu)=-k²e'^k?u + ike‘^ifVu+ike^lifVu + e'^i;V²u =

= -e'*^?(-k²u + 2ikVu + V²m )

Wstawiamy to, co uzyskaliśmy

~ikr

_tr__W2_i?²k„ rk²

2 m

V+——+V_tr(r) m    2 m

| u = eⁱⁱ⁷

Eu

dzielimy obustronnie przez e^,ir oraz odejmujemy - * -u :

2m

t>²P^N

|~V² + V_tr(r) 2m

itrk

V w =

m

2 m

równanie kp

H₀ - ten wyraz jest taki sam, zaburzenie H._b E ’ - łatwa do policzenia różnica jak w równaniu wyjściowym

Wyrażenie -/7/V jest równoważne działaniu operatora pędu p:

p = -wv

Trzeba też zauważyć, że funkcji u_k(r) o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować. Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:

\-~^+^tLkp + WJr)\u„, [ 2 m    m

(F)= E —

t,²k²>

2 m

n odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k