108802

(**) y^tnł + Ph-i v^(nl‘+Pn-2    +...+ Pi / + Po y = o

Poszukujemy rozwiązania równania (**) postaci y = e" / = re^,x y" = rV^x y^(n> = rⁿe" po wstawieniu do (**) dostajemy równanie charakterystyczne rⁿ + Poi r"^-1 + Pn-2 r”² +... + p,r + p₀ = 0

1)    Równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych r_v r^ r_n wówczas całki

Yi⁼ e^rl*» V2= e^f2*/ Yn ⁼ e^mx stanowią układ podstawowy całek dla równania (•*) y = C, e^,u + C₂ e^r2* +... + C_ne^,nx CORJ

2)    Jeżeli r₀ jest k- krotnym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego, to całki związane z tym pierwiastkiem są następujące yi = e¹⁰*, y₂ = xe^,tt<, y_k = x^{k 1} e'⁰*

Te całki wraz z pozostałymi stanowią układ podstawowych całek dla równania (**)

3)    Jeżeli r₀ = a + ip jest pierwiastkiem jednokrotnym

równania charakterystycznego to całki związane z tym pierwiastkiem są postaci yi = e®* cos (5x, y₂ = e" sin 3x. Te całki wraz z pozostałymi stanowią układ podstawowy całek dla równania (**).

4)    Jeżeli r₀ = a + ip jest pierwiastkiem k- krotnym równania charakterystycznego to całki związane z tym pierwiastkiem są postaci yi = e" cos px, y₂ = xe^ax cos px, y_k = x^k V" cos px

y_k*i = e^ax sin px, y_kł2 = e^ax sin px, y* = x^{k ł} e^m sin px. Te całki wraz z pozostałymi stanowią układ podstawowy całek dla równania (**).