108815

Warunek wystarczający na istnienie ekstremum lokalne

xo -> x0 E —» cpsilon

Załóżmy, że f jest różniczkowalna w otoczeniu (xO-E, xO+E) punktu xOoraz f‘(x0) = 0 Jeśli a f‘(x)<Ooraz a f‘(x)>0(<), to f ma w punkcie minimum (xO-E. xO+E)    x e (x0. xO+E)

(maksimum) lokalne.

Inaczej, jeśli w otoczeniu p. x0 f * zmienia znak z - na +, to f min lokalne w p. x0

+ na -, max

Dowód:

Wywód wprost z tw. Lagrange'a:

maleje    rośnie

<. k₀h-L

f -e

Symbole nieoznaczone:

S | S

Mówimy, że wyrażenie - ^ jest w punkcie x₀ Symbolem nieoznaczonym typu - (lub g(x)    0

jeśli lim f(x)= lim g(x) = 0(co).

X-*X>    X-*Xo

Np. Symbolami nieoznaczonymi w 0 typu — są:

2

x \ sin x 5x x

lim — = 5

x-*o _x

sin x , hm-= 1

X-0 _x