4292417171

Ekstrema globalne

Na szczęście nie zawsze musimy sprawdzać warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeśli szukamy wyłącznie ekstremów globalnych (tzn. wartości największej i najmniejszej danej funkcji), to możemy skorzystać z twierdzenia Weierstrassa, które mówi, że funkcja ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość największą i najmniejszą. Jeśli więc obszar na którym badamy funkcję jest właśnie taki, to wystarczy znaleźć punkty ” podejrzane” o to, że jest w nich ekstremum lokalne, a następnie porównać wartości w tych punktach. Najmniejsza i największa z nich to właśnie ekstrema globalne.

W praktyce szukanie ekstremów globalnych jest najczęściej dwuetapowe. Jeśli szukamy tych ekstremów dla funkcji f(x,y) na obszarze g(x, y) < 0, to najpierw szukamy punktów stacjonarnych funkcji / leżących ściśle wewnątrz obszaru (spełniających nierówność ostrą), a następnie badamy zachowanie funkcji na brzegu obszaru (czyli wtedy gdy w warunku definiującym obszar zachodzi równość). Tę drugą czynność można zrobić na kilka sposobów:

•    - używając mnożników Lagrange’a

•    - parametryzując brzeg obszaru

•    - pozbywając się jednej ze zmiennych

Nie zawsze można zastosować wszystkie te metody, często też w danym wypadku jedna jest wyraźnie najlepsza.

Przykład:

Zbadać ekstrema globalne funkcji /(x, y) = 2x² - y² na zbiorze x² + y² < 1

Zauważmy najpierw, że obszar jest domknięty i ograniczony, zatem na pewno funkcja przyjmuje na nim swoje ekstrema globalne.

Szukamy najpierw ekstremów lokalnych wewnątrz obszaru: f'_x = 4x, /' = -2y, skąd widać, że jedynym punktem podejrzanym o bycie ekstremum lokalnym / jest (0,0) i istotnie leży on ściśle wewnątrz obszaru. Mamy też /(0,0) = 0.

Musimy więc teraz zbadać zachowanie funkcji / na brzegu, czyli przy warunku x² + y² = 1.

•    Sposób 1: mnożniki Lagrange’a F(x, y, A) = 2x² - y² - A(x² + y² - 1)

Rozwiązujemy więc układ równań:

4x - 2Ax = 0 -2y - 2Ay = 0 x² + y² = 1

Otrzymujemy punkty stacjonarne: (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1). W dwóch pierwszych wartość funkcji to 2, a w dwóch ostatnich -1. Porównując to z ze znalezioną wcześniej wartością 0 otrzymujemy, że wartość największa naszej funkcji w danym kole to 2, a najmniejsza to -1.

•    Sposób 2: parametryzacja.

Parametryzacja brzegu koła, czyli okręgu, to (cost, sint) dla t € [0,27r]. Mamy więc na brzegu obszaru:

/(x, y) = /(cos t, sin t) = 2 cos²1 - sin²1 = 3 cos²1 - 1

Oczywiście na przedziale [0, 27t] najmniejsza wartość tej funkcji to -1, a największa 2, więc takie są ekstrema na brzegu, a wnętrze obszaru tego nie zmienia.

5