112019

fK) = am

f(x₀+Ax)- f(xo)    sin(Xo+Ax) sinx₀    sinx₀-sin(x₀ +Ax)

2 sin

Ax -x_n-Ax

= lim

Ait-*0

Ax

= lim

Ax sin(x₀ + Ax) • sin x₀

Ax

lim

Ax • sin( x₀ + Ax) • sin x₀

lim

^A*-*° Axsin(x₀ + Ax)sinx₀

lim .

Ar-»0 AX

sin(x₀ + Ax)sinx₀

— cos Xp sin²Xo

• Definicja pochodnych jednostronnych funkcji:

Niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu U_(xo) [prawostronnym otoczeniu U.(xo)].

Pochodną lewostronną funkcji f w punkcie Xo, ozn. symbolem f_'(xo), nazywamy:

lx

ll-O

Pochodna prawostronna funkcji f w punkcie X* ozn. symbolem f.'(xo), nazywamy: A*-*0‘    Ax

• Twierdzenie: warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej: Pochodna f'(xo) istnieje <=> , gdy istnieją pochodne jednostronne w punkcie Xo, a ponadto: f’_(xo)=f'.(xo)

Przykład: Sprawdzić istnienie pochodnej funkcji: y= | x | w piuikcie Xo=0

Ux>0

«x)=|x|3 f(i)^: ‘

•u<